2012年广东省广州市金山中学高三测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x²，x∈R}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．∅

2. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

3. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象关于x=1对称，且在（1，+∞）上单调递增，设，b=f（2），c=f（3），则a，b，c，的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c

4. 难度：中等

为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

5. 难度：中等

若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知，则f[f（x）]≥1的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，g（x）=log_ax+x-4的零点为n，则的取值范围（ ）
A．
B．（1，+∞）
C．（4，+∞）
D．

8. 难度：中等

定义域在R上的周期函数f （x），周期T=2，直线x=2是它的图象的一条对称轴，且f （x）在[-3，-2]上是减函数，如果A，B是锐角三角形的两个锐角，则（ ）
A．f（sinA）＞f（cosB）
B．f（sinA）＜f（cosB）
C．f（sinA）＞f（sinB）
D．f（cosA）＜f（cosB）

二、填空题

9. 难度：中等

已知||=1，||=2，＜，＞=60°，则|2+|=    ．

10. 难度：中等

如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为     ．

11. 难度：中等

设α是第二象限的角，tanα=-，且sin＜cos，则cos=    ．

12. 难度：中等

规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a*b=+a+b，，已知1*k=3，则函数f（x）=k*x的值域是    ．

13. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=-1的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有    个．

三、解答题

15. 难度：中等

已知，
（1）若∥，求x与y之间的关系式；
（2）在（1）的前提下，若，求向量的模的大小．

16. 难度：中等

已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

17. 难度：中等

已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，，已知．
（1）判断三角形的形状，并说明理由．
（2）若y=，试确定实数y的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-（2a+1）x²+3a（a+2）x+1．a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[{0，24}]，其中a与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（1）令，求t的取值范围；
（2）求函数M（a）；
（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=2lnx-x²（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间与最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x³=0在区间内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；  （其中e为自然对数的底数）
（3）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求证：g'（px₁+qx₂）＜0（其中，g'（x）是g（x）的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）