2011年湖北省武汉市蔡甸二中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若∅⊊{x|x²+x+m≤0，m∈R}，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

的展开式中的常数项为a，最后一项的系数为b，则a+b的值为（ ）
A．14
B．13
C．15
D．16

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=-2010，-=2，则S₂₀₁₀=（ ）．
A．-2008
B．2008
C．-2010
D．2010

4. 难度：中等

在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（ ）
A．（-2，7）
B．（-6，21）
C．（2，-7）
D．（6，-21）

5. 难度：中等

先将函数的周期变为为原来的4倍，再将所得函数的图象向右平移个单位，则所得函数的图象的解析式为（ ）
A．f（x）=2sin
B．
C．f（x）=2sin4
D．

6. 难度：中等

已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．①②

7. 难度：中等

F₁，F₂是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为．
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线

8. 难度：中等

从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若关于x的方程x|x-a|=a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，4）
B．（-4，0）
C．（-∞，-4）∪（4，+∞）
D．（-4，0）∪（0，4）

二、填空题

11. 难度：中等

某校高一年级一班数学单元测试全班所有学生成绩的频数分布直方图如图所示（满分100分，学生成绩取整数），则成绩在90.5～95.5这一分数段的频率是     ．

12. 难度：中等

数列{a_n}满足．当a_n取得最大值时n等于     ．

13. 难度：中等

将1、2、3、…、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行
从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置
时，填写空格的办法有     种．

14. 难度：中等

已知不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是    

15. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|-|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
③抛物线x=ay²（a≠0）的焦点坐标是；
④曲线与曲线（λ＜35且λ≠10）有相同的焦点．
其中真命题的序号为    写出所有真命题的序号．

三、解答题

16. 难度：中等

已知-＜x＜0，则sinx+cosx=．
（I）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求的值．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，因为甲、乙、丙三人各有优势，甲、乙、丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（1）求甲、乙、丙三人中只有一人通过审核的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望

18. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；
（Ⅲ）求异面直线AC与BD所成角的大小．

19. 难度：中等

设函数f（x）=，函数g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．

21. 难度：中等

已知数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1且点（n，S_n+n+2）在函数f（x）=log₂x-1的反函数y=f^-1（x）的图象上．若数列{a_n}满足a₁=1，．
（Ⅰ）求b_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．