2010年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学三模试卷（理科）（必修＋选修2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={x||x-1|＜4，x∈R}，Q={x|y=ln（x+2）}，则P∩Q=（ ）
A．（-2，+∞）
B．（-3，5）
C．（-2，5）
D．（5，+∞）

2. 难度：中等

设向量与的夹角为θ且，，则cosθ=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知y=f^-1（x）是函数的反函数，则f^-1（3）的值是（ ）
A．8
B．3
C．log₂3
D．2

4. 难度：中等

已知α．β是平面，m．n是直线，给出下列命题
①若m⊥α，m∥β，则α⊥β
②如果m⊥α，m⊥β，则α∥β
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n不与α相交．
④若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

设a＞0，b＞0，则下列不等式中不恒成立 的是（ ）
A．
B．
C．
D．（a+b）²≤2（a²+b²）

6. 难度：中等

已知双曲线的焦点F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x∈（-，0），cosx=，则tan2x=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若，，，则cos（α+β）的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在等边三角形ABC中，M、N、P分别为AB、AC、BC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所在二面角的余弦值为，则直线AM与NP所成角的大小为（ ）
A．90°
B．60°
C．
D．

10. 难度：中等

设变量x．y满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数，则f（x）是（ ）
A．周期为π，且图象关于点对称
B．最大值为2，且图象关于点对称
C．周期为2π，且图象关于点对称
D．最大值为2，且图象关于对称

12. 难度：中等

过点P（-3，1）且方向向量为的光线经直线y=-2反射后通过抛物线y²=mx，（m≠0）的焦点，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=-2
B．
C．y²=4
D．y²=-4

二、填空题

13. 难度：中等

若复数z满足z=i（2-z）（i是虚数单位），则z=    ．

14. 难度：中等

一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为    ．

15. 难度：中等

某购物广场前要建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法共有    种（用数字作答）

16. 难度：中等

在下列命题中：
①方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成区域为面积为2；
②与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x；
③与两定点（-1，0），（1，0）距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；
④与两定点（-1，0），（1，0）距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．
正确的命题的序号是    ．（注：把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+
（1）求角A．
（2）若，，试求||的最小值．

18. 难度：中等

高二下学期，学校计划为同学们提供A．B．C．D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习（受条件限制，不允许多选，也不允许不选）．
（I）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；
（II）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；
（III）求3位同学中，选择A选修课人数ξ的分布列与数学期望．

19. 难度：中等

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中点，．
（I）证明AB₁∥平面DBC₁
（II）求异面直线AB₁与BC₁所成的角
（III）求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角的度数．

20. 难度：中等

如图点A_n（x_n，y_n）是曲线y²=2x（y≥0）上的点，点B_n（a_n，0）是x轴上的点，△B_n-1A_nB_n是以A_n（x_n，y_n）为直角顶点的等腰三角形，其中n=1，2，3，…，B为坐标原点．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列b_n=2^n-1，求最小正整数m，使得对任意的n∈N^*，当n＞m时，a_n＜b_n成立．

21. 难度：中等

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设f（x）的最小值为g（a），证明：．

22. 难度：中等

设椭圆（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B，问在x轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．