2010年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设是一个纯虚数，则实数a是（ ）
A．
B．-1
C．
D．1

2. 难度：中等

已知集合A={x|ax-1=0}，B={x|1＜log₂x≤2，x∈N}，且A∩B=A，则a的所有可能值组成的集合是（ ）
A．Φ
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知命题p：∃x∈（-∞，0），2^x＜3^x；命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨（﹁q）
C．（﹁p）∧q
D．p∧（﹁q）

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（O为坐标原点），且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S₁₁等于（ ）
A．4
B．5.5
C．6
D．10

5. 难度：中等

已知α为第二象限的角，且，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形

7. 难度：中等

已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：
（1）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β；
（2）若m∥α，n∥β且m∥n，则α∥β；
（3）若m⊥α，n∥β且m⊥n，则α⊥β；
（4）若m⊥α，n∥β且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．或-

9. 难度：中等

如图程序运行的结果是（ ）

A．2⁹
B．2¹⁰
C．2¹¹
D．2¹²

10. 难度：中等

一个样本的容量为50，分成若干组，在它的频率分布直方图中，某一组相应的小长方形的面积为直方图中所有小矩形面积的16%，则落在该组的频数为

1

1

．
A．7
B．8
C．9
D．6

11. 难度：中等

在△ABC中，若=，则△ABC为（ ）三角形．
A．等腰三角形
B．直角三角形或等腰三角形
C．直角三角形
D．不确定

12. 难度：中等

设a∈{1，2，3，4}，b∈{2，4，8，12}，则函数f（x）=x³+ax-b在区间[1，2]上有零点的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若直线x-y+1=0与圆x²+y²-2x+1-a=0相切，则a=    ．

14. 难度：中等

若向量，且，则=    ．

15. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则y₁²+y₂²的最小值是     ．

16. 难度：中等

给出以下四个结论：
（1）函数的对称中心是；
（2）若关于x的方程在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，当a＞0且a≠1，b＞0时，的取值范围为；
其中正确的结论是：    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在上的最大值为1，求a的值．

18. 难度：中等

某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（I）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（II）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学分别去做某项试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（III）两名同学的试验结束后，男同学做试验得到的试验数据为68、70、71、72、74，女同学做试验得到的试验数据为69、70、70、72、74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点
（1）求证：PA⊥平面CDM；
（2）点N在棱PA上，且，求四面体N-MCD的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数在区间（2，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数，若对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求实数p的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）∠EDF=∠CDB；
（3）E，F，C，B四点共圆．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为，
（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|3x-2|+x
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，解不等式f（x）＞g（x）．