2011年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数z的轭复数为-3+i，则|z|=    ．

2. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4，5}，则（C_UA）∩B=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=2^x+log₂x（x∈[1，2]）的值域为    ．

4. 难度：中等

“x＞1”是“x²＞x”的    条件．

5. 难度：中等

在区间[-1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为    ．

6. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线-y²=1的右焦点重合，则实数p=    ．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，a₁+a₂+a₃=6，a₇+a₈+a₉=24，则a₄+a₅+a₆=    ．

8. 难度：中等

阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是    ．

9. 难度：中等

已知方程（）^x=的解x∈（，），则正整数n=    ．

10. 难度：中等

如果圆（x-a）²+（y-a）²=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

若函数f（x）=（x+a）3-（x-a）3^8-x-3a为偶函数，则所有实数a的取值构成的集合为    ．

12. 难度：中等

平面内两个非零向量α、β，满足|β|=1，且α与β-α的夹角为135°，则|α|的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=1，AC=2，O为△ABC外接圆的圆心，则•=    ．

14. 难度：中等

已知m，n∈R，且m+2n=2，则m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，AC=5，AD为∠BAC的角平分线，D在BC上，且DC=4，cos∠DAC=，
（1）求AD长；
（2）求cosB的值．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）试在BB₁上找一点G，使得CG⊥平面ADF；
（3）求三棱锥D-AB₁F的体积．

17. 难度：中等

一条船在如图所示的Y型河流中行驶，从A逆流行驶到B，再从B顺流行驶到C，AB间航程和BC间航程相等，水流的速度为3km/h，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度（单位：km/h）的平方成正比．
（1）当船在AB段、BC段静水中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？
（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水中的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交于椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．
（1）求证：A，C，T三点共线；
（2）如果=3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=+a|x|，a为实数．
（1）当a=1，x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；
（2）设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f（x）的单调减区间为（m，n），且n-m≤，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞2），a_n+1=，n∈N^*．
（1）求证：a_n+1＜a_n；
（2）若a=，且数列{b_n}满足a_n=b_n+，b_n＞1，求证：数列{lgb_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项式；
（3）若a=2011，求证：当n≥12时，2＜a_n＜2+恒成立．（参考数据2¹⁰=1024）

21. 难度：中等

选答题：本大题共四小题，请从这4题中选作2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A、选修4-1：
几何证明选讲．如图，圆O的直径AB=4，C为圆周上一点，BC=2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交于点D，E，求∠DAC的度数与线段AE的长．
B、选修4-2：矩阵变换
求圆C：x²+y²=4在矩阵A=[]的变换作用下的曲线方程．
C、选修4-4：坐标系与参数方程
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2sinθ，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．
D、选修4-5：不等式选讲
已知a、b、c为正数，且满足acos²θ+bsin²θ＜c．求证：cos²θ+sin²θ＜．

22. 难度：中等

必做题
随机的将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为ɛ．
（1）求ɛ的分布列；
（2）求ɛ的期望值．

23. 难度：中等

必做题
当n≥1，n∈N^*时，
（1）求证：C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2=n（1+x）^n-1；
（2）求和：1²C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ．