2009-2010学年福建省厦门外国语学校高三（下）段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=Z，M={x|2≤x＜4}，N={x|-2＜x≤3}，集合M和N的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）

A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷多个

2. 难度：中等

“a=1”是“函数f（x）=|x-a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设0≤x＜2π，且=sinx-cosx，则（ ）
A．0≤x≤π
B．≤x≤
C．≤x≤
D．≤x≤

4. 难度：中等

函数y=lg（-1）的图象的对称轴或对称中心是 （ ）
A．直线y=
B．x轴
C．y轴
D．原点

5. 难度：中等

设0＜a＜1，对于函数（0＜x＜π），下列结论正确的是（ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值又无最小值

6. 难度：中等

将函数y=sinωx（ω＞0）的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₂-x₁|恒成立”的只有（ ）
A．
B．f（x）=|x|
C．f（x）=2
D．f（x）=x²

8. 难度：中等

若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+3）=f（x+1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）-log₅x，（x＞0）的零点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

10. 难度：中等

某地一年的气温Q（t）（单位：°c）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10°c，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

设函数，则=    ．

12. 难度：中等

在▱ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则=    （用a，b表示）．

13. 难度：中等

如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为    ．

14. 难度：中等

=    ．

15. 难度：中等

请设计一个同时满足下列两个条件的函数y=f（x）：
（1）图象关于y轴对称；
（2）对定义域内任意不同两点x₁，x₂，都有．
答案：    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（C，0）
（1）若c=5，求sin∠A的值；
（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：
（Ⅰ）x的值；
（Ⅱ）a，b，c的值．

18. 难度：中等

已知△ABC的面积S满足，且•=6，与的夹角为α．
（1）求α的取值范围；
（2）若函数f（α）=sin²α+2sinαcosα+3cos²α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值时的α．

19. 难度：中等

为应对国际金融危机对企业带来的不良影响，2009年某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元．据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）当140＜a≤280时，问企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，就尽量少裁）

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若，求f（x）在[-2，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x，f（x））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P、Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，，求λ的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（3）函数有几个零点？