2010-2011学年四川省成都外国语学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题P：抛物线y=2x²的准线方程为y=-；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨（￢q）
C．（￢p）∧（￢q）
D．p∨q

2. 难度：中等

在下列函数中，图象关于y轴对称的是（ ）
A．y=x²sin
B．
C．y=xln
D．

3. 难度：中等

若，，则角θ的终边一定落在直线（ ）上．
A．7x+24y=0
B．7x-24y=0
C．24x+7y=0
D．24x-7y=0

4. 难度：中等

已知下列四个命题：①平行于同一直线的两平面互相平行；②平行于同一平面的两平面互相平行；
③垂直于同一直线的两平面互相平行；④与同一直线成等角的两条直线互相平行．
其中正确命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④

5. 难度：中等

已知等比数列a_n，b_n，P_n，Q_n分别表示其前n项积，且，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若关于x的方程4cosx+sin²x+m-4=0恒有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．[0，5]
B．[-1，8]
C．[0，8]
D．[-1，+∞）

7. 难度：中等

某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法：
①C₂¹C₄₈⁴+C₂²C₄₈³；②C₅₀⁵-C₄₈⁵；③C₂¹C₄₉⁴；④C₂¹C₄₉⁴-C₄₈³．其中正确算法的种数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知向量与关于x轴对称，j=（0，1），则满足不等式的点Z（x，y）的集合用阴影表示为如图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=0，则f（2011）的值是（ ）
A．2008
B．2009
C．2010
D．2011

10. 难度：中等

设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．

11. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）-2α+2（α＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数α的取值范围是（ ）
A．[]
B．（0，]
C．[]
D．[，1]

二、填空题

13. 难度：中等

将函数y=log₂x的图象按平移向量平移后得到函数的图象，则该平移向量=    ．

14. 难度：中等

的展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则展开式中含x³的项是第    项．

15. 难度：中等

函数y=Acos（ωx+φ），（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2010）+f（2011）的值为    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，，且（n∈N^*），则如图中第9行所有数的和为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a-c），=（cosB，cosC），且∥
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-）+sinx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．

19. 难度：中等

如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A₁和CDD'C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D''与D'重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D₁的大小为q，若，求t的取值范围；
（2）在线段D₁E上是否存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分所成的比λ；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记，若，设T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求．

21. 难度：中等

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=mx²-n（m＞0，n＞0）与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

22. 难度：中等

已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）