2011年江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U=R，A={x|x+1＜0}，B={x|x-3＜0}，那么（C_UA）∩B=    ．

2. 难度：中等

如果复数 （其中i为虚数单位，b∈R）的实部和虚部互为相反数，那么b等于    ．

3. 难度：中等

椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是    ．

4. 难度：中等

已知cos（α+）=，且，则sin2α=    ．

5. 难度：中等

已知样本方差由，则x₁+x₂+…+x₁₀=    ．

6. 难度：中等

将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x²+bx+c=0有实根的概率为     ．

7. 难度：中等

已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题
①若α∥β则l⊥m；
②若l⊥m则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m则α⊥β．其中正确命题的序号是    ．

8. 难度：中等

如图所示的流程图，输出的结果为    ．

9. 难度：中等

函数y=sin⁴x+cos⁴x的单调递增区间是     ．

10. 难度：中等

设双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A（不同于O点），则△OAF的面积为    ．

11. 难度：中等

直线tx+y+3=0与圆x²+y²=4相交于A、B两点，若，则实数t的范围    ．

12. 难度：中等

已知实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，不等式|a+b|≥k|c|恒成立．则实数k的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知D是△ABC边BC延长线上一点，记=λ+（1-λ）．若关于x的方程2sin²x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}首项为a，公差为b，等比数列{b_n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+3=b_n成立，则a_n=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（3sin α，cos α），=（2sin α，5sin α-4cos α），α∈，且．
（1）求tan α的值；
（2）求cos的值．

16. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为DD₁、BD的中点．  
（1）求证：EF∥面ABC₁D₁
（2）求证EF∥BD₁．
（3）求三棱锥的体积．

17. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

18. 难度：中等

给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₁的距离为．
（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；
（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项，公比的等比数列，设b_n+15log₃a_n=t，常数t∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；
（3）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．

21. 难度：中等

已知a、b∈R，若M=[]所对应的变换T_M把直线l：3x-2y=1变换为自身，试求实数a、b的值．

22. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（α∈R，α为参数）．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极轴在x轴的正半轴上时，曲线D的极坐标力程为ρsin（θ+）=a．
（I）试将曲线C的方程化为普通方程，曲线D的方程化为直角坐标方程；
（II）试确定实数a的取值范围，使曲线C与曲线D有公共点．

23. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．

24. 难度：中等

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？