2011年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁=m+2i，z₂=2+i，若z_1^•z₂为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．4
D．-4

2. 难度：中等

命题：“∀x∈R，cos2x≤cos²x”的否定为（ ）
A．∀x∈R，cos2x＞cos²
B．∃x∈R，cos2x＞cos²
C．∀x∈R，cos2x＜cos²
D．∃x∈R，cos2x≤cos²

3. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，S_n其前n项和，且a₂=3a₄-6，则S₉等于（ ）
A．25
B．27
C．50
D．54

4. 难度：中等

根据右面频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数分别为（ ）

A．12.5，12.5
B．13，12.5
C．12.5，13
D．14，12.5

5. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+x，g（x）=log₂x+x，h（x）=log₂x-2的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c

6. 难度：中等

已知M是曲线上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于的锐角，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）
B．[4，+∞）
C．（-∞，2]
D．（-∞，4]

7. 难度：中等

已知的值为（ ）
A．-8
B．8
C．
D．

8. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如右图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）cm³．
A．8+π
B．
C．12+π
D．

9. 难度：中等

如图所示程序框图，若输出的结果y的值为1，则输入的x的值的集合为（ ）

A．{3}
B．{2，3}
C．{}
D．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n•a_n-2=a_n-1（n＞2，n∈N），且a₁=2，a₂=3，则a₂₀₁₁=（ ）
A．
B．
C．2
D．3

11. 难度：中等

函数在[-2，2]上的最大值为2，则a的范围是（ ）
A．
B．
C．（-∞，0]
D．

12. 难度：中等

已知动点P在直线x+2y-2=0上，动点Q在直线x+2y+4=0上，线段PQ中点M（x，y）满足不等式，则x²+y²的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[10，34]

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量与满足||=1，||=2，且⊥（+），则向量与的夹角为    ．

14. 难度：中等

设函数，满足=    ．

15. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为    ．

16. 难度：中等

有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径．定理：如果圆x²+y²=r²（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1．写出该定理在双曲线中的推广
    ．

三、解答题

17. 难度：中等

某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8处有一走私船，正沿东偏南15°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向．

18. 难度：中等

从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为
甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5
乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5
（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；
（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率．

19. 难度：中等

已知几何体E-ABCD如图所示，其中四边形ABCD为矩形，△ABE为等边三角形，且，，点F为棱BE上的动点．
（I）若DE∥平面AFC，试确定点F的位置；
（II）在（I）条件下，求几何体D-FAC的体积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）．
（I）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（II）当a取（I）中最小值时，求证：．

21. 难度：中等

已知为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点N（x，y）（y＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

选做题：
如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点（异于A、B），过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E．求证：CB=CE．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r=1，P在圆C上运动．
（I）求圆C的极坐标方程；
（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（I）解不等式f（x）＞5；
（II）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．