2010年吉林省长春市东北师大附中高考数学五模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=lg（1-x）}，集合B={y|y=x²}，则A∩B=（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．[0，1]
D．[0，1）

2. 难度：中等

若（1-i）（a-i）是纯虚数，则实数a=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

3. 难度：中等

函数的一条对称轴方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如果执行右边的程序框图，输入x=-9，那么输出的结果是（ ）

A．9
B．3
C．
D．

5. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x²+x+1＞0．下列结论中正确的（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧非q”是真命题
C．命题“非p∧q”是真命题
D．命题“非p∧q”是假命题

6. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

正项等比数列{a_n}的公比q≠1，且a₂，，a₁成等差数列，则的值为（ ）
A．或
B．
C．
D．

8. 难度：中等

一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

5名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（ ） 种．
A．25
B．50
C．150
D．300

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+c，其中0≤b≤4，0≤c≤4．记函数f（x）满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点O是侧面BB₁C₁C的中心，点D为平面BB₁C₁C内一点，若AD与平面BB₁C₁C所成的角为60°，则点D可能在下列哪些位置（ ）
A．点B和B₁处
B．点C和C₁处
C．点O，B₁和C₁处
D．点O，B和C处

12. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），．，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

二、填空题

13. 难度：中等

为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是    ．

14. 难度：中等

已知，则展开式中的常数项为    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，1）作直线与抛物线x²=2y相交于A，B两   点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点，则△ANB面积的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=，给出如下四个命题：
①f（x）在[，+∞）上是减函数；
②f（x）的最大值是2；
③函数y=f（x）有两个零点；
④f（x）≤在R上恒成立；
其中正确的命题有    ．（把正确的命题序号都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos²-cos2（B+C）=，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=3，求a的最小值．

18. 难度：中等

按照新课程的要求，高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一•一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条形图所示．
（ I）求该班学生参加活动的人均次数；
（ II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（ III）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．（要求：答案用最简分数表示）

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，
AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）若二面角A-EB₁-B的大小是45°，求CE的长．

20. 难度：中等

已知圆，定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

若函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数．
（Ⅰ）求正实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a=1，求征：＜（ n∈N*且n≥2 ）

22. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．

23. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

24. 难度：中等

关于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？