2013年陕西师大附中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（x²+2x-3）+（x-1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．3
B．1
C．-3
D．1或-3

2. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，若a₁+a₅+a₉=8π，则cos（a₂+a₈）的值为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

3. 难度：中等

若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线-=1的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

5. 难度：中等

设p：，q：x²+x-6＞0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习．学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（ ）
A．18
B．15
C．12
D．9

7. 难度：中等

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．或-

8. 难度：中等

已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

在抛物线y=x²+ax-5（a≠0）上取横坐标为x₁=-4，x₂=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x²+5y²=36相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A．（-2，-9）
B．（0，-5）
C．（2，-9）
D．（1，6）

10. 难度：中等

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（2013）=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．0

二、填空题

11. 难度：中等

图中的三个直角三角形是一个体积为20cm³的几何体的三视图，则h=    cm．

12. 难度：中等

已知=2•，=3•，=4•，…．若=8•（a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t=    ．

13. 难度：中等

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为    ．

14. 难度：中等

在二项式的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则n的值为    ．

15. 难度：中等

不等式|2x+1|-2|x-1|＞0的解集为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数为偶函数，且α∈[0，π]
（1）求α的值；
（2）若x为三角形ABC的一个内角，求满足f（x）=1的x的值．

17. 难度：中等

甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y．
（Ⅰ）求y=2的概率；
（Ⅱ）设随机变量X=|x-y|，求随机变量X的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求四面体PEFC的体积．

19. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

20. 难度：中等

已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足，点T（-1，1）在AC所在直线上且．   
（1）求△ABC外接圆的方程；
（2）一动圆过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；
（3）过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P，Q两点，满足，求k的取值范围．

21. 难度：中等

设函数．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．