2010年江苏省扬州大学附中高考数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合P={1，2}，Q={2，3}，则P∩（∁_UQ）=    ．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₃+a₄+a₅=12，a₆=2，则a₂+a₃=   

4. 难度：中等

若直线a不平行于平面α，则下列结论不成立的是     ．
①α内的所有直线均与直线a异面；
②α内不存在与a平行的直线；
③直线a与平面α有公共点；
④α内的直线均与a相交．

5. 难度：中等

复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第    象限．

6. 难度：中等

将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为    

7. 难度：中等

先将函数的周期变为为原来的4倍，再将所得函数的图象向右平移个单位，则所得函数的图象的解析式为     ．

8. 难度：中等

对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则=    ．

9. 难度：中等

函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，则x²+y²的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则a+c的最小值为    ．

11. 难度：中等

已知椭圆与抛物线y²=2px（p＞0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

若任意满足的实数x，y，不等式a（x²+y²）≤（x+y）²恒成立，则实数a的最大值是    

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ₁+λ₂=   

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为    ．
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知复数z₁=3+2sinA•i，z₂=sinA+（1+cosA）i（i是虚数单位），它们对应的向量依次为、，且满足，．
（1）求∠A的值；
（2）求的值．

17. 难度：中等

汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

	轿车A	轿车B	轿车C
舒适型	100	150	z
标准型	300	450	600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本一均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的首项，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）求满足的所有n的值．

19. 难度：中等

设点P（m，n）在圆x²+y²=2上，l是过点P的圆的切线，切线l与函数y=x²+x+k（k∈R）的图象交于A，B两点，点O是坐标原点．
（1）当k=-2，m=-1，n=-1时，判断△OAB的形状；
（2）△OAB是以AB为底的等腰三角形；
①试求出P点纵坐标n满足的等量关系；
②若将①中的等量关系右边化为零，左边关于n的代数式可表为（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，且满足条件的等腰三角形有3个，求k的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围．

21. 难度：中等

（A）4-2矩阵与变换
已知二阶矩阵M的特征值是λ₁=1，λ₂=2，属于λ₁的一个特征向量是，属于λ₂的一个特征向量是，点A对应的列向量是．
（Ⅰ）设a=me₁+ne₂，求实数m，n的值．
（Ⅱ）求点A在M⁵作用下的点的坐标．

（B）4-2极坐标与参数方程
已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

22. 难度：中等

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

23. 难度：中等

某县高一年级有15000名学生参加安全应急预案知识竞赛活动，为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了400名学生的得分（得分取正整数，满分100分）进行统计：
请你根据不完整的频率分布表．解答下列问题：
（1）补全频率分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若将得分转化为等级，规定得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”，这次15000名学生中约有多少人评为“D”？如果随机抽取一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩评为“A”、“B”、“C”、“D”哪一个等级的可能性大？请说明理由．