2009年湖南省长沙一中高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．8

2. 难度：中等

已知，，点D为线段BC的中点，则=（ ）
A．（1，2）
B．（1，-2）
C．（0，3）
D．（0，-3）

3. 难度：中等

在下列各数中，与sin2009°的值最接近的数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设函数y=-x（x+2）（x≥0）的反函数定义域为（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，0]
C．（0，1）
D．（-∞，1]

5. 难度：中等

在数列{a_n}中，a_n=2n+3，前n项和S_n=an²+bn+c，n∈N^*，其中a，b，c为常数，则a-b+c=（ ）
A．-3
B．-4
C．-5
D．-6

6. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．
C．（1，2）
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（a^x-4b^x+6），满足f（1）=1，f（2）=log₂6，a，b为正实数．则f（x）的最小值为（ ）
A．-6
B．-3
C．0
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.35和0.45，则m=    ．

10. 难度：中等

的二项展开式中含x³项的系数为     ．

11. 难度：中等

直线x-2y+5=0与圆x²+y²=8相交于A、B两点，则|AB|=    ．

12. 难度：中等

从A、B、C、D、E、F这6名运动员中选派4人参加4×100接力赛，参赛者每人只跑一棒，其中第一棒只能从A、B中选一人，第四棒只能从C、D、E中选一人，则不同的选派方案共有     种．

13. 难度：中等

已知正三棱锥P-ABC中，底面边长为，高为1，则正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为     ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），且f（4）=f（1）=1，f'（x）为f（x）的导函数，函数y=f'（x）的图象如图所示．则：
（1）f（x）的单调递减区间为     ；
（2）点（a，b）所在平面区域所围成的面积是     ．

15. 难度：中等

函数f_M（x）的定义域为R，且定义如下：（其中M为非空数集且M⊊R），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足A∩B=∅，则函数的值域为     ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为三内角A、B、C的对边，，，且．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若，，求cosB．

17. 难度：中等

为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表：
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点，
（1）求这三人恰有两人消费额大于300元的概率；
（2）求这三人消费总额大于或等于1300元的概率；
（3）设这三人中消费额大于300元的人数为X，求X的分布列．

18. 难度：中等

如图ABCD是一个直角梯形，其中AB∥DC，AB⊥BC，CD=2BC=2AB=4，过点A作CD的垂线AE，垂足为点E，现将△ADE折起，使二面角D-AE-C的大小是120°．
（1）求证：平面BCD⊥平面CED；
（2）求二面角A-CD-E的大小．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（ p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n＜．

20. 难度：中等

已知函数，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤．
（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点D的椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q．求|PQ|的最小值．