2010年河南省郑州外国语学校高考数学模拟试卷1（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线l：ax+by=1与圆C：x²+y²=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（ ）
A．点在圆上
B．点在圆内
C．点在圆外
D．不能确定

2. 难度：中等

设集合A=，x，y∈R}，B={（x，y）|4x+ay-16=0，x，y∈R}若A∩B=Φ，则a的值为（ ）
A．4
B．-2
C．4或-2
D．2或-4

3. 难度：中等

a、b是两条异面直线，则“a⊥b”是“存在经过a且与b垂直的平面”（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（1°）+f（2°）+…+f（59°）=（ ）
A．
B．
C．59
D．-59

5. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是AA₁，CC₁的中点，P是CC₁上的动点（包括端点），过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（ ）
A．线段C₁F
B．线段CF
C．线段CF和一点C₁
D．线段C₁F和一点C

6. 难度：中等

已知A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，B={（x+y，x-2y）|（x，y）∈A}，点（u，v）∈B，则2u-v的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

设{a_n}（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆=S₇＞S₈，则下列结论错误的是（ ）
A．d＜0
B．a₇=0
C．S₉＞S₅
D．S₆与S₇均为S_n的最大值

8. 难度：中等

已知曲线C：与函数f（x）=log_ax及函数g（x）=a^x，（其中a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁²+x₂²的值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

9. 难度：中等

二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处切线互相垂直，则a+b的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234
B．346
C．350
D．363

11. 难度：中等

O为△ABC所在平面上的一点且满足||²+||²=||²+||=||²+||²，则O为（ ）
A．△ABCK的三条高线的交点
B．△ABCK的三条中线的交点
C．△的三条边的垂直平分线的交点
D．△的三条内角平分线的交点

12. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在准线l上的射影为M₁，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知双曲线，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有    条．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），则{a_n}的通项    ．

15. 难度：中等

如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空
②存在一圆与直线系xcosθ+ysinθ=1（x∈R）都相切
③已知（x+2）²+=1，则x²+y²的取值范围是[1，]
④底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
⑤函数y=f（x+2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．
其中正确的有    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，=24，sinA+sinC=．
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积的最大值．

18. 难度：中等

先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求直线ax+by+5=0与圆x²+y²=1相切的概率；
（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．
（1）若b_n=a_n-2n+1，求证：数列{b_n}（n∈N⁺）是常数列，并求{a_n}的通项；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，又c_n=（-1）ⁿS_n，且{c_n}的前n项和T_n＞tn²在n∈N⁺时恒成立，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，PC与底面ABCD所成的角的正切值为，E为PD的中点．
（1）求二面角E-AC-D的大小．
（2）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为．若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设f（x）=-x³+ax²+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为的切线．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在区间[m，n]上单调递增，求|m-n}的取值范围；
（3）是否存在a的取值使得对于任意x∈（-∞，0]，都有f（x）≥0．

22. 难度：中等

已知圆C₁的方程为x²+y²+4x-5=0，圆C₂的方程为x²+y²-4x+3=0，动圆C与圆C₁、C₂相外切．
（I）求动圆C圆心轨迹E的方程；
（II）若直线l过点（2，0）且与轨迹E交于P、Q两点．
①设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点（2，0）无论怎样转动，都有
•=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由；
②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ=，求λ，的取值范围．