2011年广东省中山实验高中高考数学模拟试卷（理科） （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4，5}，集合B={1，4}，则A∩C_IB等于（ ）
A．{1，4}
B．{2，6}
C．{3，5}
D．{2，3，5，6}

2. 难度：中等

圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0与圆C₂：x²+y²-4x+4y-2=0的位置关系是（ ）
A．相离
B．外切
C．内切
D．相交

3. 难度：中等

已知函数等于（ ）
A．-1
B．5
C．-8
D．3

4. 难度：中等

在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．7

5. 难度：中等

在同一坐标系内，函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₅=-2，a₈=16，等S₆等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

7. 难度：中等

在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α
D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α

8. 难度：中等

若f（x）是R上的增函数，且f（-1）=-4，f（2）=2，设P={x||f（x+t）+1|＜3}，Q={x|f（x）＜-4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤-1
B．t≥-1
C．t≤-3
D．t≥3

二、填空题

9. 难度：中等

已知复数z满足（1+2i）z=5（i为虚数单位），则z=    ．

10. 难度：中等

右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（n∈N₊）中的前200项，则所得y值中的最小值为    ．

11. 难度：中等

已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，标准差为，则xy的值是    ．

12. 难度：中等

两个正数m，n的等差中项是5，等比中项是4．若m＞n，则椭圆 的离心率e的大小为    ．

13. 难度：中等

已知x，y∈R⁺，且x+4y=1，则x•y的最大值为    ．

14. 难度：中等

如图，圆的切线PA的长为4，PB=3，则BC的长为    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线l的极坐标 方程是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．已知，且.
（1）求∠A大小．
（2）若，求△ABC的面积S的大小．

17. 难度：中等

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，E为线段AD₁的中点，F为线段BD₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）设M为线段C₁C的中点，当的比值为多少时，DF⊥平面D₁MB，
并说明理由．

18. 难度：中等

已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线（m＞2，n＞2）与圆C相切，求证：．

19. 难度：中等

为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图．已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{a_n}的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{b_n}的前六项．
（Ⅰ）求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求等差数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的近视率μ的大小．

20. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

21. 难度：中等

数列{a_n}中，，其前n项的和为S_n．
（1）设，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求S_n的表达式；
（3）求证：．