2011年北京大学附中高三适应性训练数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．-1
B．-i
C．1
D．i

2. 难度：中等

抛物线x²=4y关于直线x+y=0的对称曲线的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（-1，0）
C．
D．

3. 难度：中等

若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．6

4. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的t=（ ）

A．96
B．120
C．144
D．300

5. 难度：中等

在极坐标系中，两圆方程分别为，ρ=2sinθ，它们的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0，q≠1），则“q=-1”是“数列{a_n}是等比数列”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

从A={a₁，a₂，a₃，a₄}到B={b₁，b₂，b₃，b₄}的一一映射中，限定a₁的象不能是b₁，且b₄的原象不能是a₄的映射有（ ）个．
A．12
B．13
C．14
D．16

8. 难度：中等

设集合X是实数集R的子集，如果点x∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x|＜a，称x为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①；  ②{x|x∈R，x≠0}；③；   ④整数集Z
以0为聚点的集合有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．①②④

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，已知，则B=    ．

10. 难度：中等

实数x，y满足|x|＜2，|y|＜1，则任取其中x，y，使x²+y²≤1的概率为    ．

11. 难度：中等

已知PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，AB=7，PT=12，BT=8，如图所示，则PB=    ；AT=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=mx²+（m-3）x+1至少有一个零点为正数，则实数m的取值范围为    ．

13. 难度：中等

若点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，则
（1）点集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为    ；
（2）点集M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

14. 难度：中等

（1）对于数列{a_n}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N^*，均有|a_n|≤T，则称{a_n}为有界数列．以下数列{a_n}为有界数列的是    ；（写出满足条件的所有序号）
①a_n=n-2②③
（2）数列{a_n}为有界数列，且满足a_n+1=-a_n²+2a_n，a₁=t（t＞0），则实数t的取值范围为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知．
（I）求tanα的值；
（II）若的最小正周期和单调递增区间．

16. 难度：中等

甲、乙、丙三人在同一个办公室，办公室只有一部电话机，设经该打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别为，若在一段时间内打进3个电话，且各个电话相互独立．
（I）求这三个电话是打给同一人的概率；
（II）求这三个电话中恰有两上是打给乙的概率；
（III）设三个电话中打给乙与丙的个数差的绝对值为X，求X的分布列和E（X）．

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且．
（I）求证：D₁E∥平面ACB₁；
（II）求证平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
（III）求平面ACB₁与平面D₁B₁E所成（锐）二面角的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数k的取值范围．

19. 难度：中等

已知、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

现有一组互不相同的从小到大排列的数据：a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折线．
（I）求f（0）和f（1）的值；
（II）设P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．