2010年湖北省荆门市龙泉中学高三数学综合训练11（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，集合N={x||2x-1|＜3}，则M∩N=（ ）
A．{x|-1＜x＜2}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞2或x＜-1}
D．{x|-1＜x＜1}

2. 难度：中等

已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a₂，a₄，a₃成等差数列．则q=（ ）
A．1
B．
C．或1
D．-1或

3. 难度：中等

设f（x）是可导的奇函数，且f′（-x）=-k（k≠0），则f′（x）等于（ ）
A．-k
B．k
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数，则y=f（x）的图象（ ）
A．关于点（2，3）对称
B．关于点（-2，-3）对称
C．关于点（3，2）对称
D．关于点（-3，-2）对称

5. 难度：中等

定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[-2，0]上单调递减，，，，则下列成立的是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b

6. 难度：中等

设数列{2^n-1}按“第n组有n个数（n∈N₊）”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第101组中的第一个数为（ ）
A．2⁴⁹⁵¹
B．2⁴⁹⁵⁰
C．2⁵⁰⁵¹
D．2⁵⁰⁵⁰

7. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=2，a₈=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₈），则f′（0）=（ ）
A．2⁶
B．2⁹
C．2¹²
D．2¹⁵

8. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

9. 难度：中等

函数f（x）=x²+mx+n的图象按向量平移后得到的图象，恰好与直线4x+y-6=0相切于点（1，2），则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=x²+2x+3
B．f（x）=x²+2x+4
C．f（x）=x²+2x-4
D．f（x）=x²+2x-3

10. 难度：中等

函数的图象上至少有三个点到原点的距离成等比数列，则公比q的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知f（x）=3^x-b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），则F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域为     ．

12. 难度：中等

函数y=log_a（x²+2x-3），当x=2时y＞0，则此函数的单调递减区间为     ．

13. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.5]=-2．若集合A={x|x²-[x]-1=0}，，则A∩B=    ．

14. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC．AT是⊙O的切线，∠BAT=55°，则∠D等于     ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），则{a_n}的通项    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2x+1（a∈R）．
（1）若f（x）的图象与x轴恰有一个公共点，求a的值；
（2）若方程f（x）=0至少有一正根，求a的范围．

17. 难度：中等

已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求证：{lga_n}是等差数列；
（2）设对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（3）函数有几个零点？

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：
①求k的取值范围；
②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．