2009-2010学年湖南省长沙一中高三（下）第六次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若对任意n∈N^*，恒成立，则实数a的取值范围是     ．

2. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-，]上是增函数．
其中正确的命题的序号    ．

二、解答题

3. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，．
（1）求cosA和cos2A的值；
（2）若，求△ABC的面积．

4. 难度：中等

为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：
（1）若第六、七、八组的频数t、m、n为递减的等差数列，且第一组与第八组的频数相同，求出x、t、m、n的值；
（2）若从第一组和第八组的所有星期中随机抽取两个星期，分别记它们的平均温度为x，y，求事件“|x-y|＞5”的概率．

5. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值．

6. 难度：中等

已知曲线x²+y²-4x-2y-k=0表示的图象为圆．
（1）若k=15，求过该曲线与直线x-2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．
（2）若该圆关于直线x+y-4=0的对称圆与直线6x+8y-59=0相切，求实数k的值．

7. 难度：中等

设数列{a_n}前n项和为S_n，若a₁=1，．n=1，2，3，…
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若，数列{b_n}前n项和为T_n，证明：．
（3）是否存在自然数n，使．若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

8. 难度：中等

定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）=3e^x+a，其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的解析式．（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤3ex．

三、选择题

9. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4}，C_UB={2，3}，则集合B=（ ）
A．{2}
B．{2，3}
C．{1，4}
D．{1，2，3}

10. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，a₁+a₃+a₅=9，a₆=9．则这个数列的前6项和等于（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48

11. 难度：中等

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交

12. 难度：中等

△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

函数y=sin（2x+）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

14. 难度：中等

直线绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x-2）²+y²=3的位置关系是（ ）
A．直线过圆心
B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切
D．直线与圆无公共点

15. 难度：中等

若不等式|x+2|-|x-1|＜a的解集非空，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞3
B．-3＜a＜3
C．a＞-3
D．a≤-3

16. 难度：中等

以下命题中，①回归直线必过样本点的中心；②残差平方和越小，则预报精度越高；③若一组数据x₁，x₂，…，x_n的平均数为3，方差为4，则2x₁+1，2x₂+1，…，2x_n+1的平均值为7，方差不变；④若线性相关系数r=±1，则表示两个变量完全线性相关；⑤商场应根据上月所卖货品尺寸的中位数决定本月的进货比例．正确命题个数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

四、填空题

17. 难度：中等

一组数据中，经计算，，回归直线的斜率为0.6，则利用回归直线方程估计当x=12时，y=    ．

18. 难度：中等

若“p或q”为真命题，则“p且q为真”是     命题．（填“真”、“假”）

19. 难度：中等

在[0，10]上随机取两个实数x，y，则事件“2x+y≥2”的概率为     ．

20. 难度：中等

棱长为1的正四面体，某顶点到其相对面的距离为    ．

21. 难度：中等

若平面向量和互相平行，其中x∈R．则=    ．