2010年湖南省长沙一中高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{1，6}
B．{4，5}
C．{2，3，7}
D．{2，3，4，5，7}

2. 难度：中等

命题“存在x∈R，2x²-1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，2x²-1＞0
B．存在x∈R，2x²-1＞0
C．对任意的x∈R，2x²-1≤0
D．对任意的x∈R，2x²-1＞0

3. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．4
D．-4

4. 难度：中等

下列区间中，函数y=sin（2x+）单调递增的是（ ）
A．（0，）
B．（，）
C．（-，）
D．（，）

5. 难度：中等

曲线y=f（x）在点P（2，-3）处的切线方程为x+2y-4=0，则f′（2）=（ ）
A．-
B．-2
C．-
D．-3

6. 难度：中等

《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml （不含80）之间时，属酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款，据统计，2010年1月1日至5月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共10万人，如图是对这10万人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A．0.15万
B．1.5万
C．2万
D．3万

7. 难度：中等

设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，-log₃2）
B．（0，log₃2）
C．（log₃2，1）
D．（1，log₃4）

8. 难度：中等

在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x²+2ax-b²+π有零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

在一次数学统考后，某班随机抽取名10同学的成绩为样本进行分析，获得成绩数据的茎叶图如图，样本的平均成绩=    ．

11. 难度：中等

函数y=e^x-x的最小值为    ．

12. 难度：中等

如图的程序框图中，输出结果S=    ．

13. 难度：中等

如图是某一几何体的三视图，左视图为直角三角形，俯视图为矩形，则这个几何体的体积是     ．

14. 难度：中等

曲线C₁的参数方程为（θ为参数，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点．极轴为x轴的非负半轴，则曲线C₁与C₂的公共弦所在直线的直角坐标系方程为     ．

15. 难度：中等

定义运算：=ad-bc，若数列{a_n}满足=1，且=2（n∈N^*）则a₃=    ．数列{a_n}的通项公式为a_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且
（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积为，求a．

17. 难度：中等

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．

18. 难度：中等

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
（I）证明：BC⊥平面AMN；
（II）求三棱锥N-AMC的体积；
（III）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区△AEF的EF．问如何设才能使公园占地面积最大，并求这最大面积（其中AB=200 m，BC=160m，AE=60m，AF=40m．）

20. 难度：中等

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足条件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设{b_n}是7项的“对称数列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差数列，且b₁=2，b₄=11．依次写出{b_n}的每一项；
（2）设{c_n}是49项的“对称数列”，其中c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首项为1，公比为2的等比数列，求{c_n}各项的和S；
（3）设{d_n}是100项的“对称数列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列．求{d_n}前n项的和S_n（n=1，2，…，100）．

21. 难度：中等

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点（1，）在该椭圆上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过椭圆C的左焦点F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．