2011年江苏省常州市西夏墅中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A∩（∁_UB）=    ．

2. 难度：中等

已知p：-4＜x-a＜4，q：（x-2）（3-x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

若曲线f（x）=x⁴-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为    ．

4. 难度：中等

某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为    ℃．

5. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（2，3），若，则λ=    ．

6. 难度：中等

如图，为了估算函数y=-x²+1的图象与x轴围成的阴影面积，现在该阴影区域中放置一边长为的小正方形ABCD，并在上述阴影区域内随机撒300粒芝麻，据统计，其中约100粒落入正方形ABCD中，则阴影区域的面积约为    ．

7. 难度：中等

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为    ．

8. 难度：中等

给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．
其中为真命题的是    ．

9. 难度：中等

以下伪代码：
Read  x；
If  x≤-1  Then；
f（x）←x+2；
Else；
If-1＜x≤1  Then；
f（x）←x²；
Else；f（x）←-x+2；
End  If；
Print  f（x）；
根据以上伪代码，若函数g（x）=f（x）-m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知A（3，），O是原点，点P的坐标为（x，y）满足条件，则z=的取值范围是    ．

11. 难度：中等

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx²-bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集    ．

12. 难度：中等

给出下列四个命题：
①“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；
②函数y=sin（2x-）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=cos2x；
③函数y=lg（ax²-2ax+1）的定义域是R，则实数a的取值范围是（0，1）；
④设O是△ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为1：2；
其中真命题的序号是    （写出所有真命题的序号）．

13. 难度：中等

如图，已知F₁，F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为    ．

14. 难度：中等

若不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=，bsinA=4．
（Ⅰ）求cosB和边长a；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求cos4C的值．

16. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长都是2，D，E分别是BB₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；
（Ⅱ）求证：BE∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求证：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．

17. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，l₁、l₂是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l₂上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|=3km，点N到l₁、l₂的距离分别为4km和5km．
（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．

19. 难度：中等

设函数f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，（其中e=2.1828…是自然对数的底数）．
（1）求p与q的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上存在实数x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b_n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，都有成立，求S_n．