2011年广东省中山市华侨中学高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，则A∪B=（ ）
A．{x|-1≤x＜2}
B．
C．{x|x＜2}
D．{x|1≤x＜2}

2. 难度：中等

已知复数，则z²的虚部为（ ）
A．-i
B．
C．1
D．

3. 难度：中等

若，则sin²α-cos²α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点到准线的距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）

A．63
B．31
C．15
D．7

6. 难度：中等

设{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2且a₁，a₃，a₆成等比数列，则{a_n}的前n项和S_n=（ ）
A．
B．
C．
D．n²+n

7. 难度：中等

已知O为坐标原点，=（-3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C的坐标为（ ）
A．（-3，-）
B．（3，）
C．（-3，）
D．（3，-）

8. 难度：中等

下列有关各项不正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＞5”是“x²-4x-5＞0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜-1，则x²-2x-3＞0”的否命题为：“若x≥-1，则x²-2x-3≤0”
D．命题p：∃x∈R，使得x²+x-1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x²+x-1≥0

9. 难度：中等

若函数f（x）=log_mx的反函数的图象过点（-1，n），则3n+m的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．

10. 难度：中等

设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

二、填空题

11. 难度：中等

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a=1，∠B=45°，S_△ABC=2，则b=    ．

12. 难度：中等

如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为    ，数据落在（2，10）内的概率约为    ．

13. 难度：中等

已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正（主）视图如下，则它的左（侧）视图的面积是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是     ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若，AB=2，PO=5，则⊙O的半径为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设平面向量，，函数．
①求函数f（x）的值域；
②求函数f（x）的单调增区间．
③当，且时，求的值．

17. 难度：中等

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅还喜欢打羽毛球，B₁，B₂，B₃还喜欢打乒乓球，C₁，C₂还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B₁和C₁不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：

p（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：，其中n=a+b+c+d）

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，ÐBAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M，N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥DM；
（3）求四棱锥P-ADMN的体积．

19. 难度：中等

已知{a_n}是首项为19，公差为-4的等差数列，S_n为{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n及S_n；
（Ⅱ）设{b_n-a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数在x=1处取得极值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₁∈R的，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．