2010年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷5（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（ ）
A．2
B．2
C．4
D．8

2. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

将函数f（x）=2sin（2x-θ）-3的图象F按向量a=，平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线，则θ的一个可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，，则S₁₁=（ ）
A．-11
B．11
C．10
D．-10

5. 难度：中等

若的值为（ ）
A．2
B．0
C．-1
D．-2

6. 难度：中等

已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（ ）

A．（-∞，-2）∪（1，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，2）
C．（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
D．（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

7. 难度：中等

已知a＞b≥2，有下列不等式：①b²＞3b-a；②；③ab＞a+b；④log_a3＞log_b3；其中正确的是（ ）
A．②④
B．①②
C．③④
D．①③

8. 难度：中等

一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D-AC-B的余弦值为，则下列论断正确的是（ ）
A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π
B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π
C．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为
D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上

9. 难度：中等

已知a＞b＞0，椭圆，双曲线和抛物线ax²+by=0的离心率分别为e₁，e₂和e₃，则下列关系不正确的是（ ）
A．e₁²+e₂²＜2e₃²
B．e₁e₂＜e₃
C．e₁e₂＞e₃
D．e₂²-e₁²＞2e₃²

10. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．可能等于0
D．可正可负

11. 难度：中等

已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（ ）
A．C₂₀₁₀³个
B．A³₂₀₁₀个
C．2A²₁₀₀₅个
D．2C²₁₀₀₅个

12. 难度：中等

已知函数把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．（n∈N^*）
B．a_n=n（n-1）（n∈N^*）
C．a_n=n-1（n∈N^*）
D．a_n=2ⁿ-2（n∈N^*）

二、填空题

13. 难度：中等

我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a²）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有     人．

14. 难度：中等

已知α、β是三次函数的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

讲一个半径为5cm的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成60°角．则水晶球的球心到支架P的距离是    cm．

16. 难度：中等

给出下列命题：
A．函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．
B．已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为．
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
D．若P为双曲线x²-=1上的一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2 或6．
其中正确的命题是    （把所有正确的命题的选项都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

已知（其中ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，求角C．

18. 难度：中等

已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上，三次都正面朝上的概率为．
（1）求将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）若将这枚硬币连抛两次之后，再另抛一枚质地均匀的硬币一次．在这三次抛掷中，正面朝上的总次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．

19. 难度：中等

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC=是SB的中点．
（1）证明：平面SAD⊥平面SCD；
（2）求AC与SB所成的角；
（3）求二面角M-AC-B的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足．
（1）求证：数列是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N*，有成立．

21. 难度：中等

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数
（1）求f（x）在[0，1]上的极值；
（2）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，2]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．