2011年黑龙江省双鸭山一中高考数学四模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，2}，N={x|x=a²，a∈M}，则集合M∩N=（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，2}

2. 难度：中等

已知复数z=1-2i，则=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．-1+i
D．-1-i

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₃+a₅=2π，则cosa₃=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

当a=5时，如图边的程序段输出的结果是（ ）

A．10
B．24
C．30
D．36

5. 难度：中等

双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y=-x，则双曲线的方程为（ ）
A．y²-x²=160
B．x²-y²=96
C．x²-y²=80
D．y²-x²=24

6. 难度：中等

将y=cos（2x+）图象向左平移个单位所得图象的一条对称轴是（ ）
A．x=-
B．x=
C．x=
D．x=

7. 难度：中等

有下列结论：
（1）命题p：∀x∈R，x²＞0总成立，则命题¬p：∀x∈R，x²≤0总成立．
（2）设，则p是q的充分不必要条件．
（3）命题：若ab=0，则a=0或b=0，其否命题是假命题．
（4）非零向量满足，则的夹角为30°．
其中正确的结论有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体体积为 （ ）

A．24-
B．24-
C．24-π
D．24-

9. 难度：中等

已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：
①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；
②若a∩b=P，则a∩c=P；
③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；
④若a∥b，则a∥c．
其中正确命题个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域的面积是8，则a的值是（ ）
A．
B．2
C．2
D．4

12. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x），满足f（3-x）=f（x），f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3则有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不确定

二、填空题

13. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，半径为2的圆的标准方程为    ．

14. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，若首项a₁=3，前三项之和为21，则a₃+a₄+a₅=    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=m^x-1+1（m，0，且m≠1）恒过定点A，而点A恰好在直线2ax+by-2=0上（其中a，0，b，0）则式子的最小值为    ．

16. 难度：中等

设点P是△ABC内的一点，记=λ₁，=λ₂，=λ₃，f（P）=（λ₁，λ₂，λ₃）．若=+，则f（Q）=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

在2009年“家电下乡”活动中，某品牌家电厂家从某地购买该品牌家电的用户中随机抽取20名用户进行满意度调查．设满意度最低为0，最高为10，抽查结果统计如下：

满意度分组	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10]
用户数	1	2	4	5	8

（1）成下列频率分布直方图；

（2）估计这20名用户满意度的中位数；
（3）设第四组（即满意度在区间[6，8）内）的5名用户的满意度数据分别为：6.5，7，7.5，7.5，7.9，现从中任取两名不同用户的满意度数据x、y，求|x-y|＜1的概率．

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C-BGF的体积．

20. 难度：中等

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切
①求实数a，b的值；
②求函数上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．
（1）证明：E是BC的中点；
（2）证明：AD•AC=AE•AF．

23. 难度：中等

已知在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D的极坐标是，曲线C的极坐标方程为．
（I）求点D的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；
（II）若经过点D的直线l与曲线C交于A、B两点，求|DA|•|DB|的最小值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．