2010年江苏省连云港外国语学校高考数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复虚数单位数的虚部为     ．

2. 难度：中等

一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工    人．

3. 难度：中等

已知，则=    ．

4. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S₅=25，且a₂=3，则a₇=    ．

5. 难度：中等

某校组织学生进行了一次社会调查，并对学生的调查报告进行评比．下面是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右4个组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30，那么这次评比被评为优秀的调查报告有（分数＞或等于80分为优秀，且分数为整数）      篇．

6. 难度：中等

阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a=    ，i=    ．
（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）

7. 难度：中等

函数的最小值为     ．

8. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是    ．

9. 难度：中等

对于任意x∈[1，2]，都有（ax+1）²≤4成立，则实数a的取值范围为     ．

10. 难度：中等

一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为    cm²．

11. 难度：中等

设F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，则双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinx-x+k在区间上有两个零点，则实数k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

与x轴，y轴以及直线4x+3y-12=0都相切的半径最大的圆的标准方程为    ．

14. 难度：中等

已知向量满足条件：，且=2，点P是△ABC内一动点，则=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

某老师从参加高一年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第四组的小矩形内的概率（不计墨点大小）；
（3）若60分及以上为及格，估计从高一年级及格的学生中抽取一位学生分数不低于80分的概率．

16. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点．
（1）求证：BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG∥面DEF．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，数列{a_n}的前n项的和S_n=aⁿ⁺¹+b、T_n为数列{b_n}的前n项的和．且
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）找出所有满足：a_n+b_n+8=0的自然数n的值（不必证明）；
（3）若不等式S_n+b_n+k≥0对于任意的n∈N*．n≥2恒成立，求实数k的最小值，并求出此时相应的n的值．

18. 难度：中等

外轮除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域，如图：我国某海岛海岸线是半径为6海里的圆形区域，在直径的两个端点A、B设立两个观察点，已知一外轮在点P处，测得∠BAP=α，∠ABP=β．
（1）当α=30°，β=120°时，该外轮是否已进入我领海主权范围内？
（2）角α，β应满足什么关系时？就应向外轮发出警告，令其退出我海域．

19. 难度：中等

已知点B′为圆A：（x-1）²+y²=8上任意一点、点B（-1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点M（x，y）为曲线E上任意一点．求证：点关于直线xx+2yy=2的对称点为定点、并求出该定点的坐标．

20. 难度：中等

已知．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=x²-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，求证：．