2010年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，在△ABC中，．
（1）求sinA；
（2）记BC的中点为D，求中线AD的长．

2. 难度：中等

在清明节前，哈市某单位组织员工参加植树祭扫，林管局在植树前为了保证树苗质量，都会对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出它们的高度如下：（单位：厘米）
甲：37  21  31  21  28  19  32  23  25  33
乙：10  30  47  27  46  14  26  11  43  46
（1）根据抽测结果画出茎叶图，并根据你所填写的茎叶图对两种树苗高度作比较，写出3个统计结论；
（2）如果认为甲种树苗高度超过30厘米为优质树苗，那么在已抽测的甲种10株树苗中任选两种栽种，记优质树苗的个数为ξ，求ξ的分布列和期望．

3. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的余弦值的大小．

4. 难度：中等

已知抛物线C：x²=2py（p为正常数）的焦点为F，过F做一直线l交C于P，Q两点，点O为坐标原点．
（1）若△POQ的面积记为S，求的值；
（2）若直线l垂直于y轴，过点Q做关于直线l的对称的两条直线l₁，l₂分别交抛物线C于M，N两点，证明：直线MN斜率等于抛物线在点Q处的切线斜率．

5. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，证明：对x∈（0，1）时，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）当n≥2，，n∈N^*证明：．

6. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

7. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（-1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．

8. 难度：中等

设函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．

二、选择题

9. 难度：中等

，则A∩B=（ ）
A．（-∞，1]
B．[-1，1]
C．∅
D．{1}

10. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是）（ ）

A．2π
B．
C．
D．3π

11. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，a=5，b=8，C=60°，则等于（ ）
A．-15
B．25
C．
D．

12. 难度：中等

若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（-∞，1）∪（2，+∞）
D．（-∞，0）∪（1，+∞）

13. 难度：中等

直线l与圆x²+y²+2x-4y+a=0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点C为（-2，3），则直线l的方程为（ ）
A．x-y+5=0
B．x+y-1=0
C．x-y-5=0
D．x+y-3=0

14. 难度：中等

过点（-1，0）作抛物线y=x²+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）
A．2x+y+2=0
B．3x-y+3=0
C．x+y+1=0
D．x-y+1=0

15. 难度：中等

扇形周长为10，则扇形面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的焦点在y轴上，一条渐近线方程为，其中{a_n}是以4为首项的正数数列，则数列{a_n}的通项公式是（ ）
A．
B．a_n=2^1-n
C．a_n=4^n-2
D．a_n=2ⁿ⁺¹

17. 难度：中等

下列关于函数的命题正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间上单调递减
B．函数f（x）的对称轴方程是
C．函数f（x）的对称中心是
D．函数f（x）可以由函数g（x）=2cos2x+1向右平移个单位得到

18. 难度：中等

已知分段函数，则等于（ ）
A．
B．2-e
C．
D．

19. 难度：中等

投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有1，2，3，4，5，6．每次实验投两次，两次朝上的点数和为偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

在直角坐标系中横纵坐标为整数的点称为“格点”，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N^*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数，下列函数中“一阶格点”函数有（ ）
①f（x）=π（x-1）²-1；②f（x）=2010^1-x；③f（x）=ln（x+1）；④．
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

三、填空题

21. 难度：中等

的展开式中常数项是15，那么展开式中所有项系数和是    ．

22. 难度：中等

如图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（n∈N^*，n≤2009）的项，则所得y值中的最小值为    ．

23. 难度：中等

东亚四强赛由中、日、韩、香港四支球队争夺冠军，假设每场比赛各队取胜的概率相等，任意将这四个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，败者不赛，则中、韩两队相遇的概率是    ．

24. 难度：中等

设a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若a，b异面，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β．；
③若α∩β=a，φ∩γ=b，γ∩a=c，且a∥b，则c∥β；
④若a，b为异面直线，a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α
其中正确的命题是    ．