2011年河南省开封高中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2^x≤1}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

已知x∈R，i为虚数单位，若（1-2i）（x+i）为纯虚数，则x的值等于（ ）
A．-
B．-2
C．2
D．

3. 难度：中等

某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）
 
A．15
B．29
C．31
D．63

4. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为（ ）m³．

A．4
B．
C．3
D．

5. 难度：中等

下列命题中，所有正确命题的个数为（ ）
①命题“若+（y+1）²=0则x=2且y=-1”的逆命题是真命题；
②∀x∈（0，+∞），（）^x＞x
③若随机变量X～N（3，σ²），且P（X≤5）=0.84，则P（X＜1）=0.16．
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

关于函数f（x）=sinx+cosx下列命题正确的是（ ）
A．f（x）最大值为2
B．f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数是奇函数
C．y=|f（x）|的周期为2π
D．f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数是偶函数

7. 难度：中等

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2且a₁，a₅，a₁₃成等比数列，则数列{a_n}的前n项和S_n=（ ）
A．
B．
C．
D．n²+n

8. 难度：中等

在不等式组所表示的平面区域内，点（x，y）落在x∈[1，2]区域内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设函数f（x）=则函数g（x）=f（x）-log₄x的零点个数为（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

10. 难度：中等

已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

11. 难度：中等

若A，B，C是圆x²+y²=1上不同的三个点，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（ ）
A．λ²+μ²=1
B．
C．λ•μ=1
D．λ+μ=1

12. 难度：中等

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则此双曲线的标准方程是     ．

14. 难度：中等

甲、乙两位工人参加技能竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲	82	81	79	78	95	88	93	84
乙	92	95	80	75	83	80	90	85

现要从选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适，并简述理由    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+b（a≠0），若，则x=    ．

16. 难度：中等

将1、2、3、…、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行
从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置
时，填写空格的办法有     种．

三、解答题

17. 难度：中等

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．
（1）若两船能相遇，求m．
（2）当m=10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？

18. 难度：中等

为征求个人所得税修改建议，某机构对不发居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）
（I）求居民月收入在[3000，4000）的频率；
（II）根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；
（III）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽多少人？

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA1=A₁C
（Ⅰ）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）求底面ABC与侧面BB₁C₁C所成二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b 关于a的函数关系式，并求b的最大值；
（Ⅱ）若b∈[0，2]，h（x）=f（x）+g（x）-（2a-b）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

23. 难度：中等

（1）若|a|＜1，|b|＜1，比较|a+b|+|a-b|与2的大小，并说明理由；
（2）设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当