2011年江苏省南京师大附中高考数学四模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|x²≥4}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

若复数（1-i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为    ．

3. 难度：中等

如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为    ，数据落在（2，10）内的概率约为    ．

4. 难度：中等

连续3次抛掷一枚硬币，则恰有两次出现正面的概率是    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则k的值为    ．

6. 难度：中等

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且S₁₁=35+S₆，则S₁₇的值为    ．

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为    ．

8. 难度：中等

将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos2x+sin²x-4cosx，x∈R，则函数f（x）的最大值为    ．

10. 难度：中等

已知，则cos2θ=    ．

11. 难度：中等

已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为    ．

12. 难度：中等

已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则正四棱柱的体积为    ．

13. 难度：中等

已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（3-2a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

若关于x的不等式x²＜2-|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S_△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是    ．

17. 难度：中等

过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为    ．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项都是正整数，对于n=1，2，3…，有
若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p=    ．

二、解答题

19. 难度：中等

已知锐角三角形ABC中，定义向量=（sinB，-），=（cos2B，4cos²-2），且∥
（1）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

20. 难度：中等

如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

21. 难度：中等

某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图1、图2、图3所示，其中图1中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图2中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）
（1）分别写出国内市场的日销售量f（t），国外市场的日销售量g（t）与第一批产品A的上市时间t的关系式；
（2）每一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=PB，记点P的轨迹曲线为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上不同两点Q （x₁，y₁），R （x₂，y₂）满足=λ，点S为R 关于x轴的对称点．
①试用λ表示x₁，x₂，并求λ的取值范围；
②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．

23. 难度：中等

已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．
（I）求实数a的取值范围；
（II）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．试证明你的结论．

24. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）对于给定的实数λ，试求数列{b_n}的通项公式，并求S_n．
（3）设0＜a＜b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．