2010-2011学年湖南省长沙市雅礼中学高三第一次质检数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（ ）
A．{x|2＜x≤3}
B．{x|x≥1}
C．{x|2≤x＜3}
D．{x|x＞2}

2. 难度：中等

计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}为等比数列，S_n是它的前n项和，若a₂•a₃=2a₁且a₄与2a₇的等差中项为，则S₅=（ ）
A．35
B．33
C．31
D．29

4. 难度：中等

已知、是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ=1
B．λ-μ=1
C．λμ=-1
D．λμ=1

5. 难度：中等

定义运算：，则函数f（x）=1⊗2^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是（ ）
A．若α∥β，则m⊥n
B．若α⊥β，则m∥n
C．若m⊥n，则α∥β
D．若n∥α，则α∥β

7. 难度：中等

图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

8. 难度：中等

设函数g（x）=x²-2，f（x）=，则f（x）的值域是（ ）
A．
B．[0，+∞）
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=lg（x-1）的定义域是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=a^x+log_a（x+1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为     ．

11. 难度：中等

图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于的概率是    ．

13. 难度：中等

某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x₁，…，x₄（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC最短边的长为1，则△ABC的面积为    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，，3x-4y≥0}，
则（1）点集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为    ；
（2）点集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁=C₁E=BC=AB=1．
①求证：D₁E∥平面ACB₁；
②求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

18. 难度：中等

在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a，b，使得对于一切正整数n，都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在，求出常数a和b，若不存在说明理由．

19. 难度：中等

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．
（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx（x∈R）的值域．

20. 难度：中等

已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）．
（Ⅰ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（Ⅱ）当a=-1时，求l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值，并求此时直线l₁的方程．

21. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）研究函数f₂（x）的单调性；
（Ⅱ）判断f_n（x）=0的实数解的个数，并加以证明．