2007年江苏省南通中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩C_UB=（ ）
A．{2}
B．{2，3}
C．{3}
D．{1，3}

2. 难度：中等

双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数，（x∈R）的反函数为（ ）
A．，x∈R
B．，x∈（0，+∞）
C．，x∈R
D．，x∈（0，+∞）

4. 难度：中等

在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，（n∈N₊），则在数列{a_n}的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A．a₁，a₅₀
B．a₁，a₈
C．a₈，a₉
D．a₉，a₅₀

7. 难度：中等

已知点P（m，3）是抛物线y=x²+4x+n上距点A（-2，0）最近一点，则m+n=（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7

8. 难度：中等

把正奇数数列{2n-1}的各项从小到大依次排成如下三角形状数表记M（s，t）表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇数2007对应于．（ ）

A．M（45，14）
B．M（45，24）
C．M（46，14）
D．M（46，15）

9. 难度：中等

方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线

10. 难度：中等

4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得-21分；选乙题答对得7分，答错得-7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）
A．48
B．44
C．36
D．24

二、填空题

11. 难度：中等

F是椭圆的焦点，椭圆上的点M_i与M_7-i关于x轴对称，则|M₁F|+|M₂F|+…+|M₆F|=    ．

12. 难度：中等

若不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围为     ．

13. 难度：中等

已知（xcosθ+1）⁵的展开式中x²的系数与（x+）⁴的展开式中的x³的系数相等，则cosθ=    ．

14. 难度：中等

某工厂生产一种产品，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法抽样180件．若甲、乙、丙三条生产线抽取的件数组成一个等差数列，则乙生产线抽取了    件产品．

15. 难度：中等

正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的倍，则侧面与底面所成锐二面角等于    ．

16. 难度：中等

如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=，直线l：9x+2y+c=0．
（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；
（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．

18. 难度：中等

如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．
（1）求证：EF⊥A′C；
（2）求三棱锥F-A′BC的体积．

19. 难度：中等

|AB|=|x_A-x_B|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p（x，y）叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
试确定运算是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．

20. 难度：中等

已知A（a，a²）为抛物线y=x²上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）a=1时，求数列{a_n}与{b_n}的通项；
（Ⅱ）设a＞0且a≠1，若数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；
（Ⅲ）若a＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别记为S_n与T_n，求（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．