2011年四川省成都市石室中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为80的样本，则样本中A型产品的件数为（ ）
A．16
B．18
C．20
D．21

2. 难度：中等

设集合，则“x∈M”是“x∈N”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若函数f（x）=log₂（x-1），a_n=f^-1（n），数列{a_n}的前n项和为等于（ ）
A．0
B．
C．1
D．2

4. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x（x＞1），若的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．8
D．9

5. 难度：中等

已知锐角α满足，则sin2α等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且，则下列结论①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN中，正确命题的个数是（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

已知二项式的展开式中第4项为常数项，则1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²项的系数为（ ）
A．-19
B．19
C．20
D．-20

8. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（2，1），=（x，y），满足x≥0，y≥0．若≥1，≥1，z=
则（ ）
A．z有最大值-2
B．z有最小值-2
C．z有最大值-3
D．z有最小值-3

9. 难度：中等

在2011年高考规定每一个考场30名学生，编成“五行六列”就坐，若来自同一学校的甲、乙两名学生将同时排在“××考点××考场”，要求这两名学生前后左右 不能相邻，则甲、乙两名学生不同坐法种数为（ ）
A．772
B．820
C．822
D．870

10. 难度：中等

（文）若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若△ABF₂是等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设=a+β（α，β∈R），则α+β的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[，]
C．（1，）
D．（1，）

二、填空题

13. 难度：中等

已知复数z满足，则复数z=    ．

14. 难度：中等

正项数列，则实数p=    ．

15. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点均在球O的球面上，且AB=AC=1，∠BAC=120°，直线OA与平面ABC所成的角的正弦值为，则球面上B、C两点间的球面距离为    ．

16. 难度：中等

如图，已知椭圆的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上任意一点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设的取值范围．

18. 难度：中等

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，S为平面ABCD外一点，△SAD为正三角形，，M、N分别为SB、SC的中点．
（Ⅰ）求证：平面SAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值；
（Ⅲ）求四棱锥M-ABN的体积．

19. 难度：中等

在中国西部博览会期间，成都吸引了众多中外客商和游人，各展馆都需要大量的志愿者参加服务．现将5名大学生志愿者（3男2女）随机分配到A、B、C、D四个不同的展馆服务，要求每个展馆至少一名志愿者．
（Ⅰ）求两名女志愿者不在同一展馆服务的概率；
（Ⅱ）求在A展馆服务的男志援者的人数ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知函数，其中a为常数．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：D．

21. 难度：中等

已知直线l₁：x-y=0，l₂：x+y=0，点P是线性约束条件所表示区域内一动点，PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M、N，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点（2，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于Q点，且使得△ABQ是等边三角形．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记，求证：．