2008年广东省深圳市高级中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（C_UA）∪B=（ ）
A．∅
B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4}
D．{2，3，4}

2. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A．
B．2π
C．3π
D．4π

4. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x-3，则f（-2）=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

7. 难度：中等

为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（ ）

A．3800
B．6200
C．0.38
D．0.62

8. 难度：中等

如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，若B=60°，C=75°，a=8，则边b的长等于    ．

10. 难度：中等

某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，该学生不同的报考方法种数是     ．（用数字作答）

11. 难度：中等

在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则    ．

12. 难度：中等

已知定义在区间[0，1]上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁、x₂，给出下列结论：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③＜f （）．
其中正确结论的序号是    （把所有正确结论的序号都填上）．

13. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标是     ，它与方程（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是     ．

14. 难度：中等

（不等式选讲选做题）已知点P是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z所满足的关系式为    ，x²+y²+z²的最小值是    ．

15. 难度：中等

如图，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A、B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，，则PA=    ，=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，函数．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记X为落入A袋中小球的个数，试求X=3的概率和X的数学期望EX．

18. 难度：中等

如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．

19. 难度：中等

在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（-2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为-．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．

20. 难度：中等

已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜．

21. 难度：中等

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A是坐标原点）．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N^*）的横坐标a_n关于n的表达式；
（3）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．