2008年广东省深圳市高级中学高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（ ）
A．9
B．6
C．5
D．3

3. 难度：中等

“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知⊙C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，⊙C₂：x²+y²-4x-4y-2=0，则的位置关系为（ ）
A．相切
B．相离
C．相交
D．内含

5. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．

6. 难度：中等

点P从（2，0）出发，沿圆x²+y²=4按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

8. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为b，公比为a（a≠1）的等比数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，点（S_n，S_n+1）都在直线l上，则直线l的方程是（ ）
A．y=ax-b
B．y=bx+a
C．y=bx-a
D．y=ax+b

9. 难度：中等

函数y=x²-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，∞）
B．[0，2]
C．（-∞，2]
D．[1，2]

10. 难度：中等

设M是△ABC内一点，且△ABC的面积为1，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（，x，y），则+的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．16
D．18

二、填空题

11. 难度：中等

定义运算a*b=a²-ab-b²，则sin*cos=    ．

12. 难度：中等

若数列{a_n}是等差数列，对于，则数列{b_n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{c_n}是各项都为正数的等比数列，对于d_n＞0，则d_n=    时，数列{d_n}也是等比数列．

13. 难度：中等

f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．现给出下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=x²+1；
③；
④；
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是F函数的函数有    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，点到曲线上的点的距离的最小值为    

15. 难度：中等

（选做题）圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PC=PD，则CD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的内角B满足2cos2B-8cosB+5=0，又若，，．θ为的夹角．求sin（θ+B）的值．

17. 难度：中等

做一个物理试验，甲、乙两人一次试验成功的概率分别为0.6、0.8，且每次试验成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲做试验三次，第三次才能成功的概率；
（II） 甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功的概率；
（III） 甲、乙各做试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

18. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD⊥CD，且2AB=AD=CD=2．四边形ADEF为正方形，且平面ADEF⊥平面ABCD．连FC，M为FC中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：FC⊥AE；
（3）求三棱锥F-BDM的体积．

19. 难度：中等

设A、B是椭圆C：3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点．
（I）求直线AB的方程，并确定λ的取值范围；
（II）在x轴上存在一个点E，使△EAB为正三角形，求椭圆C的方程．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，记b_n=a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）记，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：．

21. 难度：中等

函数f（x）=x³-6x²的定义域为[-2，t]，设f（-2）=m，f（t）=n，f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）求证：n≥m；
（Ⅱ）确定t的范围使函数f（x）在[-2，t]上是单调函数；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存在x∈（-2，t），满足；并确定这样的x的个数．