2011年湖北省黄冈中学高三最后一次适应性考试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，4}，B={4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．{5}
B．{4}
C．{1，2}
D．{3，5}

2. 难度：中等

已知非零向量、满足||=||，那么向量+与向量-的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

的展开式中第三项的系数是（ ）
A．
B．
C．15
D．

4. 难度：中等

圆x²+y²-4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（ ）
A．2x-y-5=0
B．x-2y-1=0
C．x-y-2=0
D．x+y-4=0

5. 难度：中等

某单位员工按年龄分为A、B、C三个等级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率为，则该单位员工总数为（ ）
A．110
B．100
C．90
D．80

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，则函数y=f（1-x）的大致图象（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

S_n是数列{a_n}的前n项和，则“数列{a_n}为常数列”是“数列{S_n}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

若双曲线与直线y=2x无交点，则离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（1，2]
D．（1，2）

9. 难度：中等

某球与一个120°的二面角的两个面相切于A、B两点，且A、B两点间的球面距离为π，则此球的表面积是（ ）
A．12π
B．24π
C．36π
D．144π

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个实数根
D．有无数个不同的实数根

二、填空题

11. 难度：中等

已知tanα=2，则sinαcosα=    ．

12. 难度：中等

函数函数的反函数是    ．

13. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为    ．

14. 难度：中等

从0，1，2，3，4，5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中，奇数的个数是    ．（用数字作答）

15. 难度：中等

在空间中，若射线OA、OB、OC两两所成角都为，且OA=2，OB=1，则直线AB与平面OBC所成角的余弦值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，求a的值．

17. 难度：中等

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记X为落入A袋中小球的个数，试求X=3的概率和X的数学期望EX．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．
（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²-c-1恒成立，求c的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，且当n≥2时，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令，记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明对于任意的正整数n，都有成立．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．