2013年江苏省苏锡常镇、徐州、连云港六市高考数学一模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁_U（A∩B）=    ．

2. 难度：中等

若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=    ．

3. 难度：中等

已知m为实数，直线l₁：mx+y+3=0，l₂：（3m-2）x+my+2=0，则“m=1”是“l₁∥l₂”的    条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．

4. 难度：中等

根据如图的伪代码，输出的结果T为    ．

5. 难度：中等

已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α； ②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；  ③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α； ④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．
其中真命题的序号是    ．（填上你认为正确的所有命题的序号）

6. 难度：中等

正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为    ．

7. 难度：中等

已知，则cos（30°-2α）的值为    ．

8. 难度：中等

已知向量夹角为45°，且，则=    ．

9. 难度：中等

已知S_n，T_n分别是等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和，且=，（n∈N₊）则+=    ．

10. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，以线段F₁F₂为边作正△MF₁F₂，若边MF₁的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=e^x的图象与y轴的交点为B，P为函数y=e^x图象上的任意一点，则的最小值    ．

12. 难度：中等

若对于给定的正实数k，函数的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数，则=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若=-，b=，求a+c的值；
（2）求2sinA-sinC的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A₁C₁的中点，∠ACB=90°，A₁F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：
（1）A₁E∥平面GBC；
（2）BG⊥平面ACH．

17. 难度：中等

已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求的取值范围；
（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求证：直线AB的斜率．

18. 难度：中等

某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，，，所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA₁，FB₁，FC₁，FD₁是正四棱锥F-A₁B₁C₁D₁的四条侧棱，正方形A₁B₁C₁D₁的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．
（1）求y关于θ的函数关系式；
（2）当θ取何值时，y取得最小值？

19. 难度：中等

已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x²+y²=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；
（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范围．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，对于任意正整数m，n，恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求证：数列{a_n}成等比数列．

21. 难度：中等

（选修4-1 几何证明选讲）
如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O上一点，且∠ABD=∠ABP．
求证：AB²=BP•BD．

22. 难度：中等

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=的一个特征值为λ₁=-1，其对应的一个特征向量为，已知，求A⁵β．

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l的参数方程（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值．

25. 难度：中等

如图，圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE．
（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
（2）求二面角O-DF-E的正弦值．

26. 难度：中等

（1）山水城市镇江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；
（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．