2011年黑龙江省哈尔滨九中高考数学四模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-3x-10＜0}，B={-2，-1，1，2，5，10}，则A∩B中元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

2. 难度：中等

若是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

3. 难度：中等

函数的最小正周期是（ ）
A．
B．2π
C．π
D．4π

4. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

5. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组合则x+y的最大值为（ ）
A．9
B．
C．1
D．

6. 难度：中等

根据如图所示的求公约数方法的程序框图，输入m=2146，n=1813，则输出的m的值为（ ）

A．36
B．37
C．38
D．39

7. 难度：中等

设函数g（x）=x²-2，f（x）=，则f（x）的值域是（ ）
A．
B．[0，+∞）
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若=0，则的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

10. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，主视图、侧视图是斜边长为的等腰直角三角形，该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：

t		3	6	9	12	15	18	21	24
y	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0

经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（ ）
A．17
B．16
C．5
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为     °．

14. 难度：中等

已知圆C的圆心与抛物线y²=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x-3y-2=0与圆C相交与A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为    ．

15. 难度：中等

设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为     ．

16. 难度：中等

下列各小题中，P是q的充要条件的是    （08年山东理改编）
（1）p：m＜-2或m＞6；q：y=x²+mx+m+3有两个不同的零点．
（2）p：=1，q：y=f（x）是偶函数．
（3）p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ．
（4）p：A∩B=A，q：C_UB⊆C_UA．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=3x²-2x的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．

18. 难度：中等

某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽査数据如下：
甲：102，101，99，98，103，98，99
乙：110，115，90.85，75，115，110
（1）画出这两组数据的茎叶图：
（2＞求出这两组数据的平均值和方差（用分数表示＞：并说明哪个车间的产品较稳定．
（3）从甲中任取一个数据X （x≥100），从乙中任取一个数据y （y≤100），求满足条件|x-y|≤20的概率．

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

20. 难度：中等

设函数（x∈R），其中m＞0为常数
（1）当m=1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率；
（2）求函数的单调区间与极值．

21. 难度：中等

已知动圆C过点A（-2，0），且与圆M：（x-2）²+y²=64相内切
（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（其中k，m∈Z）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明讲
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．

23. 难度：中等

已知曲线C₁的参数方程为（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

24. 难度：中等

已知关于x的不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值．