2011年宁夏银川一中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．1-2i
B．1+2i
C．-1+2i
D．-1-2i

2. 难度：中等

设tanα=，则sinα-cosα的值（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=11，S₁₂=186，则a₈=（ ）
A．18
B．20
C．21
D．22

4. 难度：中等

已知集合A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|＜2^x＜5}，则A∩B=（ ）
A．{x∈R|-1＜x＜2}
B．{x∈R|-2＜x＜2}
C．{x∈R|-2＜x＜log₂5}
D．{x∈R|-1＜x＜log₂5}

5. 难度：中等

曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．x-2y+1=0
B．3x-y-2=0
C．3x-2y-1=0
D．3x+2y-5=0

6. 难度：中等

下列判断错误的是（ ）
A．“am²＜bm²”是“a＜b”的充分不必要条件
B．命题“∀x∈R，x³-x²-1≤0”的否定是“∃x∈R，x³-x²-1＞0”
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．若ξ～B（4，0.25）则Eξ=1

7. 难度：中等

如果执行右边的程序框图，输入x=-12，那么其输出的结果是（ ）

A．9
B．3
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（ ）
A．0
B．1
C．
D．5

9. 难度：中等

动点A（x，y）在圆x²+y²=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A．[0，1]
B．[1，7]
C．[7，12]
D．[0，1]和[7，12]

10. 难度：中等

已知，若|f（x）|≥ax在x∈[-1，1]上恒成立，则实数a的取值范围（ ）
A．（-∞-1]∪[0，+∞）
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．[-1，0）

11. 难度：中等

如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A．
B．3π
C．
D．2π

12. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF₁为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

如果对于任意实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=，称随机变量X服从正态分布，记为N（μ，σ²），若X～（0，1），P（X＞1）=p，则=    ．

14. 难度：中等

如图，过抛物线x²=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x²+（y-1）²=1于点A、B、C、D，则的值是    ．

15. 难度：中等

设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（n∈N⁺），则可得该数列的前2011项的乘积a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=，且．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某学校要用鲜花布置花圃中ABCDE五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花．现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．
（Ⅰ）当A、D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；
（Ⅱ）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（Ⅲ）记ξ为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

20. 难度：中等

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

22. 难度：中等

选做题
如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：
（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

23. 难度：中等

选修4-4；坐标系与参数方程
已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：上．
（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：
（2）求|PQ|的最小值．

24. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．