2010年江苏省南京十三中高考数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

双曲线的焦点坐标是     ．

2. 难度：中等

已知复数z满足=3，则复数z的虚部为     ．

3. 难度：中等

公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄是a₃与a₇的等比中项，S₈=32，则S₁₀=    ．

4. 难度：中等

如图伪代码的输出结果为    ．

5. 难度：中等

为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则AC=    ．

7. 难度：中等

函数y=的单调增区间是     ．

8. 难度：中等

直线y=m与函数y=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0）有交点，其中三个相邻交点的横坐标分别为2，4，14，则ω的值为     ．

9. 难度：中等

已知集合A={x|log_0.5（x+1）≥-2}，B={x|x²-（a²-1）x+5a≤0}，若A⊆B，则a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

椭圆的右焦点F所对应的准线l与对称轴的交点为A，B是线段FA的中点，若以椭圆上的一点M为圆心，线段OF（O为坐标系原点）为半径的圆恰好经过F，B两点，则椭圆的离心率为     ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+cosx，x∈[-2，2]，若f（2x-1）＜f（1），则x的取值范围是     ．

12. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），判断三角形形状．

13. 难度：中等

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则式子[]的最小值为    ．

14. 难度：中等

下列四种说法：
①命题“∃x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x²+bx+c=0有实根的概率为；
④过点（，1）且与函数y=图象相切的直线方程是4x+y-3=0．
其中所有正确说法的序号是     ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知=（1，sinα），=（2，sin（α+2β）），∥．
（1）若sinβ=，β是钝角，求tanα的值；
（2）求证：tan（α+β）=3tanβ．

16. 难度：中等

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，，AB=AC．
（I）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：FG∥面ABC；
（II）证明：AD⊥CE．

17. 难度：中等

如图，吊车的车身高为m米（包括车轮的高度），吊臂长n米，现要把一个直径为6米，高为3米的圆柱形屋顶水平地吊到屋基上安装，在安装过程中屋顶不能倾斜（注：在吊臂的旋转过程中可以靠吊起屋顶的缆绳的伸缩使得屋顶保持水平状态）．
（1）设吊臂与水平面的倾斜角为α，屋顶底部与地面间的距离最大为h米，此时如图所示，屋顶上部与吊臂有公共点，试将h表示为α函数，并写出定义域；
（2）若某吊车的车身高为2.5米，吊臂长24米，使用该吊车将屋顶吊到14米的屋基上，能否吊装成功？

18. 难度：中等

已知平面直角坐标系xoy中O是坐标原点，，圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线l被圆所截得的弦长为．
（1）求圆C的方程及直线l的方程；
（2）设圆N的方程（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，（θ∈R），过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值．

19. 难度：中等

已知各项均为实数的数列{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，且满足S₄=2S₂+8．
（1）求公差d的值；
（2）若数列{a_n}的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；
（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）．

20. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx²．
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2；
（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．

21. 难度：中等

给定矩阵M=，N=及向量e₁=，e₁=．
（1）证明M和N互为逆矩阵；
（2）证明e₁和e₂都是M的特征向量．

22. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

23. 难度：中等

如图所示在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OA=OS=AB=1，OC=4，
点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3，以OC，OA，OS所在直线
建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）求异面直线MN与BC所成角的余弦值；
（II）求MN与面SAB所成的角的正弦值．

24. 难度：中等

已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．