2010年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知全集为U=R，集合，，则A∩C_UB=（ ）
A．{x|x＞6}
B．{x|x≥6}
C．{x|4≤x＜6}
D．{x|4≤x≤6}

3. 难度：中等

函数y=cos2x-sin²x的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

4. 难度：中等

已知函数的值域是[0，+∞），则它的定义域可以是（ ）
A．（0，1]
B．（0，1）
C．（-∞，1）
D．（-∞，1]

5. 难度：中等

若圆x²+y²-ax+2y+1=0与圆x²+y²=1关于直线y=x-1对称，过点C（-a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．y²-4x+4y+8=0
B．y²-2x-2y+2=0
C．y²+4x-4y+8=0
D．y²-2x-y-1=0

6. 难度：中等

表面积为16π的球面上有三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=，则球心到截面ABC的距离及B、C两点间球面距离最大值分别为（ ）
A．3，
B．，
C．，
D．3，

7. 难度：中等

跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为（ ）
A．8种
B．13种
C．21种
D．34种

8. 难度：中等

函数为奇函数，y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，若f（3）=0，则f^-1（3）=（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

9. 难度：中等

若多项式（1+x）^m=a+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m满足：a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=80，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；
④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④

11. 难度：中等

下列命题中正确命题的个数是（ ）
①经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；
②已知平面α、β，直线a、b，若α∩β=a，b⊥a，则b⊥α；
③有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
⑥底面是等边三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，则三棱锥P-ABC是正三棱锥．
A．0
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

若关于x的方程x|x-a|=a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，4）
B．（-4，0）
C．（-∞，-4）∪（4，+∞）
D．（-4，0）∪（0，4）

二、填空题

13. 难度：中等

已知，||=2，则在方向上的投影取值范围是     ．

14. 难度：中等

已知点（m，n）在直线xcosθ+ysinθ=2上，则m²+n²的最小值为     ．

15. 难度：中等

如图，过点A₁作垂直于x轴的垂线交曲线y=x²+4x+2于点P₁，又过点P₁作x轴的平行线交y轴于点B₁，记点B₁关于直线y=x的对称点为A₂；…；依此类推．若数列{a_n}的各项分别为点列A_n（n=1，2，3…）的横坐标，且a₁=1，则a_n=    ．

16. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|-|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
③抛物线x=ay²（a≠0）的焦点坐标是；
④曲线与曲线（λ＜35且λ≠10）有相同的焦点．
其中真命题的序号为    写出所有真命题的序号．

三、解答题

17. 难度：中等

设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，若b=a•cos（A+B）．
（1）求证：；
（2）当tanB取最大值时，求cotC的值．

18. 难度：中等

今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

A小区	低碳族	非低碳族		B小区	低碳族	非低碳族
比例P				比例P

（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；
（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A小区中任选25个人，记ξ表示25个人中的低碳族人数，求Eξ和Dξ．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项积为T_n，T_n=1-a_n；数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=1-b_n
（1）设．证明数列{c_n}成等差数列；求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n（nb_n+n-2）≤kn对n∈N⁺恒成立，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB=90°，AB=BB₁=4，BC=3，AD=5，AE=3，F、G分别为CD、C₁D₁的中点．
（1）求证：EF⊥平面BB₁G；
（2）求二面角E-BB₁-G的大小．

21. 难度：中等

已知平面上两定点C（-1，0），D（1，0）和一定直线l：x=-4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）问点P在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；
（2）又已知点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线DA与曲线M的交点B不在y轴的右侧，且点B不在x轴上，并满足的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是实数集R上的奇函数．
（1）求证：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x²-2ex+m）（m∈R）的根的个数；
（3）设n∈N^*，证明：（e为自然对数的底数）．