2010年河南省郑州外国语学校高考数学模拟试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

凸四边形ABCD中，，，，，，则∠BAD的大小为（ ）
A．45°
B．75°
C．105°
D．135°

2. 难度：中等

已知a＞b，ab=1，则的最小值是（ ）
A．2
B．
C．2
D．1

3. 难度：中等

如果，那么sinx的取值范围为（ ）
A．[-]
B．[）∪（]
C．[]
D．[）∪

4. 难度：中等

设y=f（x）为指数函数y=a^x．在P（1，1），Q（1，2），M（2，3），四点中，函数y=f（x）与其反函数y=f^-1（x）的图象的公共点只可能是点（ ）
A．P
B．Q
C．M
D．N

5. 难度：中等

二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．4
D．

6. 难度：中等

中国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金”，将这五种不同属性的物质任意排成一列，属性相克的两种物质不相邻的排列共（ ）
A．60种
B．24种
C．50种
D．10种

7. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上周期为2的可导函数，若f（2）=2，且，则曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程是（ ）
A．y=-2x+2
B．y=-4x+2
C．y=4x+2
D．y=-x+2

8. 难度：中等

如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）

A．arcsin
B．arccos
C．arcsin
D．arccos

9. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n=2-（n≥2），则a₂₀₀₈=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=x²+（2a+1）|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．a
B．a
C．a或
D．

11. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．（1，3]
C．（1，]
D．[，+∞）

12. 难度：中等

已知n是正数，若对于任意大于2008的实数x，总有n²x+＞2009n²成立，则n的取值范围为（ ）
A．
B．0＜n＜
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则=    ．

14. 难度：中等

已知实数x、y满足，则z=x+2y+m的最大值为21，则m=    ．

15. 难度：中等

直线L：y=k（x+3）与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，则当△AOB的面积最大时，k=    ．

16. 难度：中等

已知命题：
①函数f（x）=在（0，+∞）是减函数；
②函数f（x）的定义域为R，f′（x）=0是x=x为极值点的既不充分又不必要条件；
③在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；
④函数f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期是π；
⑤已知，则在方向上的投影为4．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是．
（1）求角A的大小；
（2）求的值．

18. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求证：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

某大型工厂的车床有甲，乙，丙三个型号，分别占总数的，，，现在有三名工人各自独立选一台车床操作．
（I）求他们选择的车床类型互不相同的概率；
（II）设ξ为他们选择甲型或丙型车床的人数，求ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

在数列{a_n} 中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3…．
（I）求数列{a_n}  的通项公式；
（II）求的最大值．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若，求实数k的取值范围．

22. 难度：中等

设k∈R，k≠0，函数f（x）=，F（x）=f（x）-kx．
（I）试讨论函数F（x）的单调性；
（II）设0＜k＜，求证：F（x）=0有三个不同的实根．