2010年浙江省绍兴市鲁迅中学高三适应性考试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=x²+1，x∈R}，B={x|x²+x-2＞0}，则下列正确的是（ ）
A．A∩B={y|y＞1}，
B．A∩B={y|y＞2}
C．A∪B={y|-2＜y＜1}
D．A∪B={y|y＜2或y＞-1}

2. 难度：中等

“双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=18-a₅，则S₈=（ ）
A．72
B．68
C．54
D．90

5. 难度：中等

某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（ ）

A．y=0.85
B．y=50×0.53+（x-50）×0.85
C．y=0.53
D．y=50×0.53+0.85

6. 难度：中等

已知，，，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．-4
B．4
C．-2
D．2

7. 难度：中等

甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x_甲，x_乙，则下列正确的是（ ）

A．x_甲＞x_乙；乙比甲成绩稳定
B．x_甲＞x_乙；甲比乙成绩稳定
C．x_甲＜x_乙；乙比甲成绩稳定
D．x_甲＜x_乙；甲比乙成绩稳定

8. 难度：中等

设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，则α∥β
C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
D．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b

9. 难度：中等

函数y=的图象如图，则（ ）
A．k=，ω=，φ=
B．k=，ω=，φ=
C．k=-，ω=2，φ=
D．k=-2，ω=2，φ=

10. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是（-，0），（，0），则PC•PD的最大值为（ ）
A．4
B．2
C．3
D．2+2

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥1的解集为    ．

12. 难度：中等

x、y满足约束条件：，则z=|x+y-5|的最小值是    ．

13. 难度：中等

下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为     ．

14. 难度：中等

抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是    ．

15. 难度：中等

若曲线C：x²+y²+2ax-4ay+5a²-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款135元，则他的当月工资、薪金的税后所得是    元．

全月应纳税所得额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
超过2000元至5000元的部分	15%
…	…

17. 难度：中等

设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x∈R，使得f（x）＜0与g（x）＜0同时成立，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

如图，过原点且倾斜角为α的直线交单位圆于点A（），C是单位圆与x轴正半轴的交点，B是单位圆上第二象限的点，且△AOB为正三角形．
（I）求sin²的值；
（II）求△BOC的面积．

19. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

20. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．
（1）当时，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知抛物线M：x²=4py（p＞0）的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B，再分别过A，B两点作l的垂线，垂足分别为C，D．
（1）求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；
（2）若△ACN，△BDN，△ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．