2010年广东省潮州实验中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数y=的定义域为M，集合N={x|y=lg（x-1）∈R，则M∩N=（ ）
A．[0，2）
B．（0，2）
C．[1，2）
D．（1，2]

2. 难度：中等

在复平面内，O是原点，向量对应的复数是3-2i（i为虚数单位），A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是（ ）
A．3+2i
B．-3-2i
C．-3+2i
D．-2+3i

3. 难度：中等

如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（ ）
A．161cm
B．162cm
C．163cm
D．164cm

4. 难度：中等

双曲线的焦距为4，它的一个顶点是抛物线y²=4x的焦点，则双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．2
D．

5. 难度：中等

已知D是△ABC所在平面内一点，=+，则（ ）
A．BD=BC
B．BD=BC
C．BD=BC
D．BD=BC

6. 难度：中等

已知平面α、β和不在这两个平面内的两直线m、n，下列命题中
命题1：若α⊥β，m⊥n，m∥α，则n∥β
命题2：若α⊥β，m∥n，m∥α，则n⊥β
命题3：若α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥β
命题4：若α∥β，m⊥n，m⊥α，则n∥β
真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．个

7. 难度：中等

已知f（x）是定义在实数集R上的奇函数，对∀x∈R，f（x-2）=f（x+2），当x∈（0，2）时，f（x）=x²，则f（）=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

8. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，曲线y=a^x（a＞0且a≠1）在第二象限的部分都在不等式（x+y-1）（x-y+1）＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤
B．≤a＜1
C．1＜a≤e
D．a≥e

二、填空题

9. 难度：中等

已知α是第二象限角，，则=    ．

10. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，a）（a是常数）、B（2，4），直线x-y+1=0与线段AB相交，则a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

空间直角坐标系O-xyz有8个点：P₁（1，1，1）、P₂（-1，1，1）、…、P₇（-1，-1，-1）、P₈（1，-1，-1）（每个点的横、纵、竖坐标都是1或-1），以其中4个点为顶点的三棱锥一共有    个（用数字作答）．

12. 难度：中等

一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，依此类推，若a_n-1=20，a_n=21，则n=    ．

13. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin（θ-）=3，点A（2，）到曲线C上点的距离的最小值AP=    ．

14. 难度：中等

（不等式选讲选做题）已知2x²+3y²=6，则|x|+y的最大值M=    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选选做题）如图，AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于．D已知BC=1，AB=，则AD=    ；过B、D分别作⊙O的切线，则这两条切线的夹角θ=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=•，其中=（cosx，sin2x），=（2cosx，1）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某批发市场对某种商品日销售量（单位吨）进行统计，最近50天的统计结果如图．

日销售量（吨）	1	1.5	2
天数	10	25	15

（1）计算这50天的日平均销售量；
（2）若以频率为概率，其每天的销售量相互独立．
①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1.5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和，求X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：+=1相交于A、B两点，且OA+OB＞AB．
（1）求m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆经过O点，求直线l的方程．

19. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA₁、CC₁上的动点，AE+CF=8．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）当CF=CC₁时，求面BEF与底面ABCD所成二面角的正弦值；
（3）多面体AE-BCFB₁的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+2ln（x-1），a是常数．
（1）证明曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线经过y轴上一个定点；
（2）若f′（x）＞（a-3）x²对∀x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围；
（参考公式：3x³-x²-2x+2=（x+1）（3x²-4x+2））
（3）讨论函数f（x）的单调区间．

21. 难度：中等

下面的程序框图给出数列{a_n}（n∈N^*），下同）的递推关系，计算并输出数列{a_n}和{}前若干项之和S、T．
（1）若输入p=1，S满足80＜S＜100，求输入的n的值；
（2）若输入p＞1，n，求输出的T的值．
（用关于p、n的代数式表示）