2011年四川省绵阳中学高考适应性检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=a（a-1）+ai为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0
B．1
C．0或1
D．1或2

2. 难度：中等

直线的倾斜角α为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数y=ln（x-1）+1，（x＞1）的反函数为（ ）
A．y=e^x-1+1（x＞1）
B．y=e^x-1+1（x∈R）
C．y=e^x+1-1（x＞1）
D．y=e^x+1-1（x∈R）

4. 难度：中等

各项均为正数且公差为1的等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，则=（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给出互不重合的直线m、n、l和互不重合的平面α、β，下列四个命题：
①若m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m不共面；
②若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β；
④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m．
其中真命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

5位同学报名参加甲和乙两个课外小组，每位同学都要报名且限报1个，且甲小组至少有2名同学报名，乙小组至少有1名同学报名，则不同的报名方法有（ ）
A．25
B．50
C．100
D．120

7. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（ ）
A．5
B．8
C．10
D．12

8. 难度：中等

为得到y=cos2x的图象，可将y=sinx的图象（ ）
A．先将横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位
B．先将横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位
C．先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半
D．先向右平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半

9. 难度：中等

设二元一次不等式组表示的平面区域为M，若曲线y²=2px经过区域M，则实数p的取值范围是（ ）
A．（0，2]
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设向量，则的最大值为（ ）
A．8
B．7
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x都有f（x）=f（4-x），f（x+1）=-f（x+3），若x∈[0，4]时，f（x）=|x-a|+b，则a+b的值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．无法确定

12. 难度：中等

已知直角△FPA，∠FPA=90°，∠PFA=60°．以F为左焦点，A为右顶点的椭圆经过点P，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

二项式的展开式中，常数项是    ．

14. 难度：中等

地面上放一个半球为R的球O，在球O的正上方与球面的距离为R处有一发光点P，则在地面上球的阴影面积是    ．

15. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，AB=2，若二面角C'-AB-C的大小为60°，则点C到平面ABC'的距离为    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①、已知函数y=f（x）．（x∈R），则y=f（x-1）的图象与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
②、设函数f（x）=cos（x+φ），则“f（x）为偶函数”的充要条件是“f'（0）=0”；
③、等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则“公比q＞0”是“数列{S_n}单增”的充要条件；
④、实数x，y，则“”是“|2y-x|≤2”的充分不必要条件．
其中真命题有    （写出你认为正确的所有真命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）求证：a²=b²+c²-2bccosA；
（2）若，求c．

18. 难度：中等

某集团在“5•12”地震灾区投资兴建了一条生产线生产三种不同规格的产品，现从生产线上随机抽取100件产品，得出频率分布直方图如下，
其中质量在[10，15）之间的为A类产品，质量在[15，20）之间的为B类产品，质量在[20，25）之间的为C类产品，由市场行情知A、B、C三类产品的每件销售量利润分别为1元、2元、3元．
问：（1）抽取的100件样品中，C类产品的频数为______．
（2）若从生产线上随机抽取3件产品，求这3件产品销售利润和不小于7元的概率．

19. 难度：中等

已知如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，、F分别为线段AB、CD的动点，且EF∥BC，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）．
（1）当AE为何值时，BD⊥EG；
（2）在（1）的条件下，求BD与平面ABF所成角的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=λ（λ＜3且λ≠-2），且a_n+2=a_n+1+6a_n．（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1+2a_n}与数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列；
（2）若a_n+1＞a_n（n∈N^*）恒成立，求λ的取值范围．

21. 难度：中等

已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若对于定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域是单调函数，求实数b的取值范围；
（3）求证：．