2004年北大附中云南实验学校高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）

A．2个
B．3个
C．6个
D．9个

2. 难度：中等

已知曲线C：y²=2px上一点P的横坐标为4，P到焦点的距离为5，则曲线C的焦点到准线的距离为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

3. 难度：中等

若（3a²-） ⁿ展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8

4. 难度：中等

从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙之前表演的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果抛物线y²=a（x+1）的准线方程是x=-3，那么这条抛物线的焦点坐标是（ ）
A．（3，0）
B．（2，0）
C．（1，0）
D．（-1，0）

6. 难度：中等

已知向量=（a，b），向量⊥且||=||，则的坐标为（ ）
A．（a，-b）
B．（-a，b）
C．（b，-a）
D．（-b，-a）

7. 难度：中等

如果S={x|x=2n+1，n∈Z}，T={x|x=4n±1，n∈Z}，那么（ ）
A．S⊊T
B．T⊊S
C．S=T
D．S≠T

8. 难度：中等

有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）
A．36种
B．48种
C．72种
D．96种

9. 难度：中等

已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（x²-ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，4）
B．（-4，4]
C．（-∞，-4）∪[2，+∞）
D．[-4，2）

11. 难度：中等

4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）
A．2只笔贵
B．3本书贵
C．二者相同
D．无法确定

12. 难度：中等

若α是锐角，且满足，则cosα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=，从第10项开始比1大，求公差d的取值范围     ．

14. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长与侧棱长的比为：1，则直线AB₁与CA₁所成的角为    °．

15. 难度：中等

若sinα＞0，sinαcosα＜0，化简cosα+sinα=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知关于x的方程2a^2x-2-9a^x-1+4=0有一根是2．
（1）求实数a的值；（2）若0＜a＜1，求不等式2a^2x-2-9a^x-1+4＜0的解集．

18. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=4a_n-3a_n-1，求a_n．

19. 难度：中等

已知平面向量=（，-1），=（，）．
（1）证明：⊥；
（2）若存在实数k和t，使得x=+（t²-3），y=-k+t，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，确定k=f（t）的单调区间．

20. 难度：中等

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求平面A₁B₁C与平面BDE所成角的度数；
（4）求ED与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

21. 难度：中等

某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n个时，每平方米的平均建筑费用用f（n）表示，且f（n）=f（m ）（1+）（其中n＞m，n∈N），又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应建几个球场？

22. 难度：中等

设f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；
（2）设f（x）与g（x）的图象交点A、B在x轴上的射影为A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范围；
（3）求证：当x≤-时，恒有f（x）＞g（x）．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项的和，并且a₃=5，a₄S₂=28．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：不等式对一切n∈N均成立．

24. 难度：中等

某大型超市预计从明年初开始的前x个月内，某类服装的销售总量f（x）（千件）与月份数x的近似关系为
（Ⅰ）写出明年第x个月的需求量g（x）（千件）与月份数x的函数关系；
（Ⅱ）求出哪个月份的需求量超过1.4千件，并求出这个月的需求量．