2010年广东省华南师大附中高三综合测试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足，则=（ ）
A．1+3i
B．3-i
C．
D．

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂+a₅=12，a_n=25，则n为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

3. 难度：中等

已知全集为实数集R，集合=（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2≤x＜1}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|-2≤x≤2}

4. 难度：中等

已知命题甲：A₁、A₂是互斥事件；命题乙：A₁、A₂是对立事件，那么甲是乙的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

将函数个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题：①∀x∈R，x²≥x；②∃x∈R，x²≥x；③∀x∈R，2x²-x+1＞0，④∃x∈[0，+∞），（log₃2）^x≥1中，其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如右图所示，则几何体的体积为（ ）

A．120m³
B．216m³
C．72m³
D．60m³

9. 难度：中等

曲线y=x³上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°

10. 难度：中等

已知上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．与a的值有关

二、填空题

11. 难度：中等

某学校共有教师400人，其中不到40岁的有250人，40岁及以上的有150人，为检查普通话在该校普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为80人的样本进行普通话水平测试，在不到40岁的教师中应抽取的人数是    ．

12. 难度：中等

已知向量，，满足：||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角大小是    ．

13. 难度：中等

按下列程序框图来计算：

如果输入的x=5，应该运算    次才停止．

14. 难度：中等

同时给出极坐标系与直角坐标系，且极轴为ox，则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）已知G是△ABC的重心，AG交BC于E，BG交AC于F，△EFG的面积为1，则△EFC的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，求函数f（x）的最值．

17. 难度：中等

已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．

18. 难度：中等

．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

19. 难度：中等

在数列{a_n}中a₁=1，当n≥2时，a_n，S_n，S_n-成等比数列．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列前n项的和T_n．

20. 难度：中等

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数（b、c为常数）的两个极值点分别为α、β，f（x）在点（-1，f（-1））处切线为l₁，其斜率为k₁；在点（1，f（1））处的切线为l₂，其斜率为k₂．
（1）若l₁⊥l₂，|α-β|=1，求b，c；
（2）若α∈（-3，-2），β∈（0，1），求k₁的取值范围．