2011年江苏省盐城市盐阜中学高三最后一次模拟数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数y=log₂（x-1）的定义域是    ．

2. 难度：中等

计算：（1-i）²=    ．

3. 难度：中等

函数的最小正周期T=    ．

4. 难度：中等

若集合A={x|x²＞1}，集合，则A∩B=    ．

5. 难度：中等

2008年5月12日，四川汶川发生大地震，震级达到了里氏8级．里氏地震规模是1935年由两位来自美国加州理工学院的地震学家共同制定的，它同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关．当地震发生时，以地震波的形式释放出的能量E=10^4.8×10^1.5M焦耳，其中M是地震级数．如果里氏6级的地震释放的能量相当于一颗广岛原子弹，那么汶川大地震所释放的能量相当于    颗广岛原子弹．

6. 难度：中等

若向量的夹角为60°，，则=    ．

7. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S_2k=72，且a_k+1=18-a_k，则正整数k=    ．

8. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是    ．

9. 难度：中等

阅读以下伪代码：
Read  x
If  1＜x≤3  Thenf（x）←-x²+4x-3
Else  f（x）←x²-4x+3
End  If
Print  f（x）
根据以上伪代码，若函数g（x）=f（x）-m在R上至少有三个零点，则实数m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e=    ．

11. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线是l，则f（2）+f′（2）=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若AB⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S-ABC的外接球半径R=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=x无实根，则下列命题中：
（1）方程f[f（x）]=x一定无实根；
（2）若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
（3）若a＜0，则必存在实数x，使得f[f（x）]＞x；
（4）若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立．
其中正确命题的序号有    （写出所有真命题的序号）

14. 难度：中等

当0≤x≤1时，恒成立，则a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC中，
（1）求cosA
（2）求．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD=DC=mAB，BC⊥PC．
（1）当时，求证：PA⊥BC；
（2）当时，试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．

17. 难度：中等

北京奥运会纪念章特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（x∈N*）．
（Ⅰ）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；
（Ⅱ）当每枚纪念章的销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值．

18. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆C：的左右焦点，
（1）设椭圆C上的点到F₁，F₂两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF₁的中点B的轨迹方程
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，K_PN试探究k_PM•K_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：（n∈N^*，a∈R，a为常数），
数列{b_n}中，．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：数列{b_n}为等差数列；
（3）求证：数列{b_n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求f（x）=x³+ax²+bx在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由；
（3）设存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围．

21. 难度：中等

如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED²=EB•EC．

22. 难度：中等

已知矩阵M=，向量α=，求M^-1α

23. 难度：中等

若两条曲线的极坐标方程分别为p=l与p=2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．

24. 难度：中等

设a，b，c为正实数，求证：．

25. 难度：中等

已知（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+…+a_2nx²ⁿ
（1）求a+a₂+…+a_2n的值   （2）求a₁+2a₂+…+2na_2n的值．

26. 难度：中等

已知曲线C₁：y=ax²，（a＞0）上一点A（1，a）到原点的距离是，过原点O作OM、ON交C₁于M、N两点，直线MN交y轴于点Q（0，y），
（1）求曲线C₁的方程；（2）当∠MON为锐角时，求y的取值范围．