2011年福建师大附中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数²（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A．±1
B．-1
C．0
D．1

2. 难度：中等

已知集合P={x||x-2|≤1，x∈R}，Q={x|x∈N}，则P∩Q等于（ ）
A．[1，3]
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}

3. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时，则f（3）=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．1或0

4. 难度：中等

在△ABC中，若B、C的对边边长分别为b、c，B=45°，c=2，b=，则C等于（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．60°或120°

5. 难度：中等

，为非零向量，“函数f（x）=（x+）²为偶函数”是“⊥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知A、B是两个不同的点，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则①m⊂α，A∈m⇒A∈α；②m∩n=A，A∈α，B∈m⇒B∈α；③m⊂α，m⊥β⇒α⊥β；④m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β．其中真命题为（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

7. 难度：中等

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在函数y=|x|（x∈[-1，1]）的图象上有一点P（t，|t|），此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

己知双曲线的方程为x²-=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线的右支相交于P、Q，以PQ为直径的圆与直线m相交于M、N，记劣弧的长度为n，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线：①x²-y²=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x²-|x|；④|x|+1=，存在自公切线的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

11. 难度：中等

在二项式的展开式中，x²的系数是    ．

12. 难度：中等

若等比数列{a_n}的首项为，且a₄=∫₁⁴（1+2x）dx，则公比等于     ．

13. 难度：中等

运行如图的程序框图，当输入m=-4时的输出结果为n，若变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为    ．

14. 难度：中等

若函数上有最小值，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a_n}（n∈N^*）的前12项，如下表所示：

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7	a8	a9	a10	a11	a12
x1	y1	x2	y2	x3	y3	x4	y4	x5	y5	x6	y6

按如此规律下去，则a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（Ⅰ）求M、T；
（Ⅱ）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

17. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

18. 难度：中等

投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为，另两枚C、D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a（0＜a＜1），把这四枚硬币各投掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及数学期望（用a表示）；
（3）若出现2枚硬币正面向上的概率最大，试求a的取值范围．

19. 难度：中等

一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线（t为参数），（θ为参数）．
（Ⅰ）当时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求的最大值．