2010-2011学年北京市东城区东直门中学高三数学提高测试试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=I，M={x|y=ln（1-x）}，N={x|2^x（x-2）＜1}，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}

2. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x²-x）＞0的实数x的取值范围为（ ）
A．（-1，1）
B．）
C．
D．）

3. 难度：中等

直线2x-y+m=0与圆x²+y²=5交于A、B，O为坐标原点，若OA⊥OB，则m的值为（ ）
A．±5
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在区间[0，1]上任取两个实数a、b，则函数在区间（-1，1）上有且仅有一个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．不确定

二、填空题

6. 难度：中等

已知F₁，F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若∠PF₁F₂：∠PF₂F₁：∠F₁PF₂=1：2：3，则此椭圆的离心率为    ．

7. 难度：中等

数列{a_n}中，a_n=，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是    ．

8. 难度：中等

设A，B为抛物线y²=2px（p＞0）上的点，且∠AOB=90°（O为原点），则直线AB必过的定点坐标为    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=x无实根，则下列命题中：
（1）方程f[f（x）]=x一定无实根；
（2）若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
（3）若a＜0，则必存在实数x，使得f[f（x）]＞x；
（4）若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立．
其中正确命题的序号有    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

10. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立；
（Ⅲ）若过点P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲线y=f（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积．

11. 难度：中等

已知y=f（x），，对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3．
（Ⅰ）当n∈N^*时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）若，求b_n；
（ III）记，试证c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

12. 难度：中等

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线m≤φ（x）_min的斜率为，那么，x∈（1，e）是定值吗？证明你的结论．

13. 难度：中等

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．