2010年江苏省泰州高级中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

2. 难度：中等

巳知全集，i是虚数单位，集合M=Z（整数集）和的关系韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有     ．

3. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为a_n，若=3，则=    ．

4. 难度：中等

长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为    ．

5. 难度：中等

设a，b∈R，且b（a+b+1）＜0，b（a+b-1）＜0，则a的取值范围是     ．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，有=成立．类似地，在等比数列{b_n}中，有     成立．

7. 难度：中等

过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面，这样的平面有4个，用这样的四个平面截去4个小棱锥后，剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比是     ．

8. 难度：中等

△ABC为锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为（sinA-cosB，cosA-sinC），则的值为     ．

9. 难度：中等

以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是     ．

10. 难度：中等

设p：x＞2或x≤-5；q：，则非q是p的     条件（填序号）．①充分不必要；②必要不充分；③充分必要；④既不充分也不必要．

11. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心的圆，且∠AOB=60°．则∠C=    ．

12. 难度：中等

对于函数f（x）=|x|³-x²+（3-a）|x|+b．
（1）若f（2）=7，则f（-2）=    ．
（2）若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知f₁（x）=e^xsinx，f_n（x）=f'_n-1（x），n≥2，则=    ．

14. 难度：中等

函数y=f（x）（x∈R，x＞0）满足（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．则集合S={x|f（x）=f（36）}中的最小元素是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|=2，设．
（Ⅰ）用θ表示点B的坐标及|OA|；
（Ⅱ）若，求的值．

16. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁，M为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB₁；
（Ⅱ）试在棱AC上确定一点N，使得AB₁∥平面BMN．

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，设S_n为它的前n项和，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，且点A（3，a₃）与B（5，a₅）都在斜率为-2的直线l上．
（Ⅰ）求a₁的取值范围；
（Ⅱ）指出中哪个值最大，并说明理由．

18. 难度：中等

已知：圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为圆C在X轴上截和的弦，设|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=α．
（1）当点C运动时，|MN|是否变化？写出并证明你的结论；
（2）求的最大值，并求取得这个最大值时α的值和此时圆C的方程．

19. 难度：中等

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

20. 难度：中等

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若x∈[0，1]时，f（x）＜0很成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

21. 难度：中等

附加题：
A．如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB²=BE•CD．
B．设数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=3a_n+2b_n，b_n+1=2b_n，且满足=M，试求二阶矩阵M．
C．已知椭圆C的极坐标方程为，点F₁，F₂为其左、右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．求点F₁，F₂到直线l的距离之和．
D．已知x，y，z均为正数．求证：．

22. 难度：中等

过直线y=-1上的动点A（a，-1）作抛物线y=x²的两切线AP，AQ，P，Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．
（2）求证：直线PQ过定点．

23. 难度：中等

如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，A₁、A₂、A₃、A₄是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向N，M处行走，直到到达N，M为止．
（1）求甲经过A₂的概率；
（2）求甲、乙两人相遇经A₂点的概率；
（3）求甲、乙两人相遇的概率．