2011年辽宁省丹东二中高三数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．-1
B．1
C．2²⁰⁰⁸
D．-2²⁰⁰⁸

3. 难度：中等

某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为（ ）
A．15
B．40
C．25
D．130

4. 难度：中等

若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前20项和为100，则a₃•a₁₈的最大值是（ ）
A．25
B．50
C．100
D．4

6. 难度：中等

一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知a、b、c为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β
B．a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α
C．a⊥α，b⊥β，α⊥β⇒a⊥b
D．a∥α，b∥β，a∥b⇒α∥β

9. 难度：中等

方程ax²+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ）
A．0＜a≤1
B．a＜1
C．a≤1
D．0＜a≤1或a＜0

10. 难度：中等

若，且，则x=（ ）
A．2
B．
C．或
D．-2或

11. 难度：中等

在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1-y）．若不等式（x-a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（ ）
A．-1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．可能等于0
D．可正可负

二、填空题

13. 难度：中等

函数+的定义域为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=n²-4n+2，则|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=    ．

15. 难度：中等

已知，，…均为实数），请推测a=   
b=    ．

16. 难度：中等

设椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，且，则椭圆的离心率等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设A，B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点（A，O，B不共线）
（1）求证：与垂直．
（2）当且时，求sinθ的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，（分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x²-x-6．
（1）求k，b的值；
（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数的最小值．

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C-BGF的体积．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知直线y=-x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈时，求椭圆的长轴长的最大值．

22. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f''（x）是函数y=f（x）的导数y=f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x，f（x））对称．
已知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）