2010年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．-1
B．1
C．-i
D．i

2. 难度：中等

在△ABC中，“sin2A=sin2B”是“A=B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ）

A．
B．1
C．
D．

4. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的t=（ ）

A．96
B．120
C．144
D．300

5. 难度：中等

某事件A发生的概率为P（0＜p＜1），则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知实数x，y满足则取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若m＞1且a_m-1+a_m+1-a_m²-1=0，S_2m-1=39，则m等于（ ）
A．10
B．19
C．20
D．39

8. 难度：中等

设集合X是实数集R的子集，如果点x∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x|＜a，称x为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①；  ②{x|x∈R，x≠0}；③；   ④整数集Z
以0为聚点的集合有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．①②④

二、填空题

9. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ所围成的平面图形的面积为    ．

10. 难度：中等

若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为     ．（用数字作答）

11. 难度：中等

已知PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，AB=7，PT=12，如图所示．则PB=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=则函数F（x）=f（x）-1的零点的个数为    ；使不等式F（x）≤1成立的x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若椭圆和双曲线有相同焦点F₁，F₂，点P是两条曲线的一个公共点，并且，e₁，e₂分别为它们的离心率，则的值是    ．

14. 难度：中等

（1）对于数列{a_n}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N^*，均有|a_n|≤T，则称{a_n}为有界数列．以下数列{a_n}为有界数列的是    ；（写出满足条件的所有序号）
①a_n=n-2②③
（2）数列{a_n}为有界数列，且满足a_n+1=-a_n²+2a_n，a₁=t（t＞0），则实数t的取值范围为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求角α-β的大小．

16. 难度：中等

某公司在“2010年上海世博会知识宣传”活动中进行抽奖游戏．抽奖规则是：在一个盒子中装有6张大小相同的精美卡片，其中3张印有“世博会会徽”图案，3张印有“世博会吉祥物海宝”图案．现每一次从盒子里无放回的随机抽取一张卡片，抽到印有海宝图案的卡片就中奖且游戏结束．
（Ⅰ）求最多抽取两次卡片游戏就结束的概率；
（Ⅱ）用X表示游戏结束时所抽取卡片的次数，求X的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2，点F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）若点E在棱PD上，当为多少时二面角E-AC-D的大小为？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-ln（2x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x时，求a值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象总是在直线的上方，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆，动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切．
（I）求圆心轨迹M的曲线方程；
（II）若A（0，-2）为y轴上一定点，Q（t，0）为x轴上一动点，过点Q且与AQ垂直的直线与轨迹M交于D，B两点（D在线段BQ上），直线AB与轨迹M交于E点，求的最小值．

20. 难度：中等

现有一组互不相同的从小到大排列的数据：a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折线．
（I）求f（0）和f（1）的值；
（II）设P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．